Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
предположить, что искомая функция г, которая должна описывать второй член
в выражении (П5.8), также будет содержать в качестве множи* теля эту
экспоненту, поскольку наша функция обязательно бы--стро стремится к нулю
с увеличением г. Запишем, следовательно, второй член в (П5.8) в виде У
Z3/n, e~Zrv (г) cos 0, где функцию v(r) следует определить. Мы хотим,
чтобы функция
представляла собой решение уравнения Шредингера для возмущенной системы,
справедливое с точностью до членов первого порядка по малым величинам или
до членов, -пропорциональных внешнему полю.
Выпишем теперь это уравнение Шредингера. Выберем ось г в качестве
полярной оси сферических координат. Тогда будем иметь
Здесь первые два члена в левой части представляют собой оператор
Гамильтона невозмущенного атома, e?>cos0 - гамильтониан возмущения,
согласно формуле (П5.3), а в правой части мы записали собственное
значение как сумму соответствующей величины для невозмущенной задачи,
равной -Z2 ридберг, и поправочного члена 8. Далее мы будем выражать
энергию в ридбергах и расстояния в единицах боровского радиуса, а в
качестве единицы измерения поля Е возьмем величину рид-
(П5.22)
(
+ eEr cos 0^ ы = ( - Z2Ry + 8) и. (П5.23)
2т 4л еаг
Поляризация и притяжение Ван дер Ваальса
331
берг/еа0. При таком выборе единиц уравнение (П5.23) принимает вид
(- V2 - Щ- + Er cos 0 j и = (- Z2 + ?") и, (П5.24)
где величина 8 выражена теперь в ридбергах. Именно для этого уравнения
(П5.24) мы хотим найти решение в виде функции (П5.22), записанной в
атомных единицах.
Подставим выражение (П5.22) в уравнение (П5.24). Записав лапласиан в
сферических координатах, выполнив операции дифференцирования и исключив
взаимно уничтожающиеся члены, получим
(Я)оп и - (- V2 - Щ+ Er cos 0 j и = - Z2u +
+ [- fM2Z--7)?+?+?'] /1г "s 6 +
+ Erv 6_Zr cos2 0. (П5.25)
Первый член -Z2u сокращается с первым членом в правой части уравнения
(П5.24). Напомним теперь, что мы пытаемся найти только те члены в функции
v, которые линейны по приложенному полю Е\ учтем также, что, согласно
формуле (П5.7), первый зависящий от Е член в выражении для энергии будет
пропорционален Е2. Отсюда следует, что в (П5.25) скобка [-d2v/dr2+ (2Z-
2/r)dv/dr + 2vlr2+Er] будет величиной первого порядка малости, тогда как
выражение Erv и энергия 8 в правой части уравнения (П5.24) будут
величинами второго порядка. Таким образом, мы можем получить решение с
желаемой степенью точности, просто отбрасывая указанные члены второго
порядка и приравнивая нулю члены первого порядка.
Тогда получим дифференциальное уравнение
- -g- + (2Z - f) ? + Щ- + Er = 0. (П5.26)
Легко убедиться, что это уравнение имеет решение в виде полинома второй
степени от г. Взяв в качестве пробной функции v = Аг + Вг2, мы увидим,
что полученному уравнению можно строго удовлетворить при должном выборе
коэффициентов Л и В. Это приводит к следующему результату:
v 2Z3 (Zr + 2 Z2r2) '
" = ]/jre~Zrll ~2F[Zr+ TZ?!)cos0]- (П5.27)
382
Приложение 5
Функция и содержит как член, не зависящий от внешнего поля Е, так и
линейный по Е член из разложения волновой функции по степеням Е.
Зная вид волновой функции (П5.27), можно определить индуцированный
дипольный момент, а следовательно, и поляризуемость. Нам нужно найти
среднее значение оператора (Mz)ov=-ez=-ercos0, выраженного в обычных
единицах, или -г=-rcos0, если использовать атомные единицы. Чтобы
усреднить величину -г cos 0, умножим ее на квадрат волновой функции
(П5.27) (она нормирована с точностью до членов порядка Е2) и
проинтегрируем по объему. Оставляя лишь члены, линейные по Е, получаем
(- г cos 0)ср = J e~2Zr (^r + Z2r2j г cos2 0 dv. (П5.28)
Интегрирование в сферической системе координат проводится без труда.
Находим
I
(- г cos 0)ср = -^-2п J sin 0cos2 0d0X
о
ОО
X J e~2Zrr3 [zr + j Z2r2) dr = | Jr. (П5.29)
о
Используя этот результат, можно определить теперь поляризуемость (по-
прежнему в атомных единицах) Единицей дипольного момента, которую мы
используем, является произведение заряда е на боровский радиус ао.
Единица измерения электрического поля, как было указано выше, есть
ридберг1еа0. Поэтому единицей поляризуемости будет
= 1Ш^-2 (*"%)< <П5-30>
Отсюда поляризуемость, вычисленная нами для основного состояния
водородоподобного иона с атомным номером Z, согласно формуле (П5.29),
равна
а = ^(4л е0)< (П5.31)
Это есть то значение, которое было указано в предыдущем параграфе для Z=1
в качестве рассчитанного значения поляризуемости для водорода.
Поляризуемость можно также найти, вычисляя член второго порядка в
выражении для энергии с помощью волновой функции (П5.27); при этом,
определяя зависящее от Е среднее значение энергии по волновой функции,
правильной с точностью
Поляризация и притяжение Ван дер Ваальса
383
до величин первого порядка по Е, найдем его точно до членов второго
порядка по Е. Как видно из выражения (П5.25), результат действия
гамильтониана на функцию и содержит, во-первых, член -Z2u, который
