Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
выражениях (П4.1) и (П4.2). Определив значение постоянной, мы
найдем, что выражение (П4.1) должно
иметь вид
(Р'=7+-ё'г2-4'584850- <П4-3)
Коэффициенты А4, Л6, Аа следует определить по методу наименьших
квадратов, выбирая их так, чтобы минимизировать сумму квадратов
отклонений приближенных значений Ф1 + Ф2 от точных значений ф. Эти
коэффициенты оказываются следующими:
Д,= - 18,687,
Л6=- 1002,05, (П4.4)
Л8 = 2326,1.
При таких значениях параметров А разности между Ф1 + Ф2 и точными
значениями ф в большинстве случаев не превышают единицы в третьем знаке
после запятой. Несколько большие отклонения имеют место вблизи
поверхности ячейки Вигнера - Зейтца, где особенно существенны опущенные
члены высшего порядка по г. Эти отклонения составляют приблизительно
±0,005 в точках (х/а; у/а\ z/а), равных (0; 0; 0,50) и (0; 0,25; 0,25); в
первом случае величина а(ф1 + фг) равна -1,084727, тогда как аф= -
1,089730, а во втором случае а(ф1+фг) = "=-0,587592, тогда как аф=-
0,582520. Эти расхождения являются максимальными. Их можно было бы,
конечно, устранить, использовав большее число членов разложения (П4.2),
364
Приложение 4
Если же попытаться взять меньше трех членов, содержащихся в выражении
(П4.2), то мы не сможем получить удовлетворительного приближения.
Точка (x/a = yla = 0, z/a = 0,50) отвечает полной кубической симметрии,
подобно началу координат. Именно в этой точке располагался бы
отрицательный ион в структуре хлористого натрия, если бы в начале
координат был помещен положительный ион. Мы можем в таком случае найти
разложение типа (П4.1) и (П4.3) в окрестности этой точки, так же как и в
окрестности нулевой точки, с тем отличием, что член 1/л, входящий в
выражение (П4.1) (где теперь г - расстояние от точки, вблизи которой
проводится разложение), будет отсутствовать, так как в задаче Эвальда в
этой точке никакого точечного заряда нет. Однако, попытавшись выполнить
подобное разложение, мы обнаружим, что сходимость приближений значительно
хуже, чем при разложении вблизи начала координат. Коэффициенты Л4, Ав, Аа
в этом случае существенно больше, чем указанные в (П4.4), и разложе-
г/а
Фиг. П4.2. Поведение потенциала в окрестности точки (0; 0; 0,50) вдоль
линий, идущих из этой точки в направлениях [001]. [011] и [ 111 ], в
случае гранецентрированной кубической решетки.
ние для ф2 только с тремя членами фактически совершенно
неудовлетворительно, за исключением точек в непосредственной окрестности
от точки г = 0. Причина кроется в том, что в данном случае меньше размеры
области, в которой плотность заряда сферически симметрична.
Действительно, при стремлении г к а/2 мы подходим к началу координат
(прежнему) , в котором имеется сингулярность потенциала вследствие
расположенного там точечного заряда, и разложение в ряд должно
расходиться. Эта ситуация графически изображена на фиг. П4.2, где показан
ход потенциала вблизи от точки (0; 0; 0,50) в трех направлениях [001],
[011] и [111] от нее. Мы видим, что гри кривые расходятся друг от друга
при значительно меньших значениях г, чем на фиг. П4.1, что
свидетельствует о существенно большей несферичности потенциала в данном
случае.
Метод Эвальда для кристаллических полей
365
Метод Эвальда был первоначально разработан в связи с задачей Маделунга в
теории ионных кристаллов. Как было отмечено выше, в кристалле со
структурой хлористого натрия мы должны были бы иметь положительный ион в
каждом узле гранецентрированной кубической решетки и отрицательный ион в
каждой точке типа (0; 0; 0,50). Если бы мы рассматривали эти ионы как
точечные заряды, то нашли бы распределение потенциала всюду в кристалле,
накладывая на решение, заданное табл. П4.1, другой потенциал, обратного
знака и измененный таким образом, чтобы его сингулярность попадала в
точку (0; 0; 0,50) и была бы отрицательного знака. В этом случае два
однородных распределения заряда взаимно уничтожались бы и остался бы
просто потенциал, обусловленный положительными и отрицательными точечными
зарядами.
При исследовании этой задачи Маделунг1) поставил следующий вопрос: какой
вид имеет потенциал вблизи положительного иона в кристалле? Искомое
выражение нетрудно получить на основе проведенного расчета. Очевидно, для
решетки из одних только положительных зарядов потенциал вблизи начала
координат описывается выражением для ф! [формула (П4.3)]. Это справедливо
с точностью до членов порядка г4 и выше, содержащихся в функции фг
[выражение (П4.2)]. С другой стороны, если добавить потенциал решетки из
одних отрицательных точечных зарядов, то его значение в начале координат
будет равно (с обратным знаком) величине, указанной в табл. П4.1 для
точки (0; 0; 0,50), т. е., как видно из таблицы, равно -1,089730. Мы
установили, что потенциал в окрестности этой точки можно представить в
виде суммы функций ф1 (без члена с 1 /г) и фг. Фактически потенциал
решетки отрицательных зарядов, помещенных в точках типа (0; 0; 0,50),
