Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
невозмущенной задаче. Легче всего это можно уяснить, учитывая условия
антисимметрии непосредственно в разностном уравнении. При этом видно, что
член, связанный с возмущением, полностью выпадает из уравнения. Для этого
случая мы берем в качестве решения функцию U (р) - sin kRp, которая
удовлет-
Волновые функции примесных атомов
349
воряет граничным условиям, если kRN = пп. Это решение является, конечно,
линейной комбинацией двух частных решений Ьр и Ь~р. Очевидно, имеется
всего N- I антисимметричных решений.
Решение для симметричных состояний удобнее всего искать в виде coskR(p-
N) для значений р в интервале от нуля до 2N. В такой форме решение
автоматически удовлетворяет граничному условию при р = N. Значение
энергии непосредственно определяется из уравнения (П2.16). Подставляя
решение указанного вида в уравнение (П2.14) для р = 0, получаем следующее
условие:
-tg (kRN) sin (kR) = -^j. (П2.17)
При выводе его мы использовали тот факт, что значение Е определяется
уравнением (П2.16). Имеется всего N решений такого симметричного типа.
Уравнение (П2.17) можно решить графически, изобразив его левую часть как
функцию k и найдя те значения k, для которых она равна величине V(0)/2^Г
(1). График этой функции для N = 6 в зависимости от аргумента kR приведен
на фиг.
П2^). Мы видим, что ось абс: цисс пересекает эту кривую в семи точках.
Для других горизонтальных линий, когда имеется только шесть точек
пересечения, отсутствует то состояние, для которого значение, k чисто
мнимо. Вместе с этим состоянием полное число симметричных состояний равно
N + I, что дает вместе с N - 1 антисимметричными состояниями требуемое
общее число состояний 2 N. Исследуем теперь более подробно состояние,
соответствующее мнимому значению k.
Для мнимого k обозначим ik через у. В этом случае значение Е таково, что
оно лежит вне зоны. При этом наше решение разностного уравнения имеет вид
ехр(±ур/?). Очевидно, коэффициенты при наших функциях Ваннье
экспоненциально возрастают в одном направлении. Мы могли бы действовать,
как и прежде, и строить связанное состояние, удовлетворяющее нашим
периодическим граничным условиям, но можно легко показать, что для
больших N точно к тому же результату можно прийти, потребовав, чтобы наша
волновая функция стремилась
Фиг. П2.5. Функция - ig(kRN)X X sin (kR) для N = 6.
350
Приложение 2
к нулю для бесконечно больших значений р. Если поступить таким образом,
то решение- первого из уравнений (П2.14) для положительных р следует
взять в виде U(p)=U(-р) = = ехр(-уRp), откуда
? = ef (0) + 2ef (1) ch (у/?). (П2.18)
Чтобы удовлетворить второму уравнению (П2.14), должно выполняться условие
sh (у/?) = V(0) /2<§? (1). Оно определяет значение у, соответствующее
заданному значению V(0). Мы можем, конечно, выразив ch(yR) через sh(y?),
получить следующее соотношение:
? = 3*(0) + 23*(l){l +[^]2}'/2. (П2.19)
Оно показывает, что при малых значениях потенциала возмущения величина
отщепления связанных состояний от зоны пропорциональна квадрату V(0).
В приведенном рассуждении везде неявно предполагалось, что знак
возмущения совпадает со знаком взаимодействия ближайших соседей. Это
означает, что связанное состояние отщепляется от зоны в точке, где Е =
<§?(0) + 28"(\). Если же знаки потенциала возмущения и взаимодействия
ближайших соседей противоположны, то связанное состояние будет
отщепляться от зоны в точке, где Е = #(0) -21?(1). В этом случае, как
легко заметить, решение разностного уравнения дается выражением (-
1)Рехр(-у Rp). Энергия связанного состояния при этом определяется
равенством (П2.19), в котором знак плюс перед квадратным корнем должен
быть заменен на минус.
Итак, мы рассмотрели все наши 2N состояний. Имеется одно связанное
состояние, N - 1 антисимметричных состояний в зоне и N симметричных
зонных состояний. На фиг. П2.6 изображены энергии этих состояний для
случая N = 6 в зависимости от величины потенциала возмущения. Для
сравнения на графике представлены также энергии антисимметричных
состояний, на которые возмущение не действует. Интересно отметить
характер смещения каждого из энергетических уровней под воздействием
возмущения: они приближаются к середине между соседними энергиями
антисимметричных состояний лишь при достаточно больших возмущениях.
Исключение составляет крайнее состояние, которое отщепляется от зоны и
образует отдельное примесное состояние, рассмотренное выше. Приведенный
график соответствует положительному значению <§?(1); при этом отдельный
уровень появляется у верхнего края зоны при положительном V(0).
Изображенная картина отвечает случаю с малым значением N] ясно, что при
очень больших значениях N
Волновые функции примесных атомов
351
смещения всех уровней, кроме одного, отщепляющегося от зоны, будут
пренебрежимо малы.
Мы установили, что под действием возмущения У(0) от энергетической зоны
отщепляется одиночный энергетический уровень и что соответствующая
волновая функция экспоненциально спадает при удалении от возмущающего
