Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
0,10 0,10 0,40 (8) -0,897493 -0,898937 0,001444
0,10 0,15 0,15 (24) 0,148005 0,148029 -0,000024
0,10 0,15 0,20 (48) -0,252639 -0,252580 -0,000059
0,10 0,15 0,25 (48) -0,535680 -0,534955 -0,000725
Метод Эвальда для кристаллических полей
361
Продолжение.
X а _У_ а Z а Вес аф а (Ф1 + Ф1) а (ф -Ф,- ф,)
0,10 0,15 0,30 (48) -0,707916 -0,707010 -0,000906
0,10 0,15 0,35 (24) -0,794372 -0,792774 -0,001598
0,10 0,20 0,20 (24) -0,475302 -0,475336 0,000034
0,10 0,20 0,25 (48) -0,626380 -0,625851 -0,000529
0,10 0,20 0,30 (24) -0,699253 -0,698208 -0,001045
0,10 0,25 025 (12) -0,659998 -0,660204 0,000206
0,15 0,15 0,15 (8) -0,161552 -0,161446 -0,000106
0,15 0,15 0,20 (24) -0,433478 -0,433274 -0,000204
0,15 0,15 0,25 (24) -0,628390 -0,627397 -0,000993
0,15 0,15 0,30 (24) -0,741821 -0,740593 -0,001228
0,15 0,15 0,35 (8) -0,788974 -0,787554 -0,001420
0,15 0,20 0,20 (24) -0,593485 -0,593133 -0,000352
0,15 0,20 0,25 (48) -0,700739 -0,700112 -0,000627
0,15 020 0,30 (24) -0,746847 -0,745058 -0,001789
0,15 0,25 0,25 (12) -0,727780 -0,726480 -0,001300
0,20 0,20 0,20 (8) -0,696687 -0,696590 -0,000097
0,20 0,20 025 (24) -0,759487 -0,759533 0,000046
0,20 020 0,30 (8) -0,773590 -0,773062 - 0,000528
0,20 025 0,25 (12) -0,781607 -0,782646 0,001039
0,25 0,25 0,25 (2) -0,801935 -0,808259 0,006324
образом продолжается к поверхности ячейки. Потенциальная энергия
электрона в решетке равна, конечно, приведенному в табл. П4.1 значению с
обратным знаком и возрастает до величины потенциального барьера при
переходе от одной ячейки Вигнера - Зейтца к следующей. Из графика видно,
что барьер минимален вдоль направления [ОН] - направления к точке
решетки, в которой расположен ближайший соседний атом. Этот барьер
несколько выше вдоль направления [111] и максимален вдоль направления
[001], вдоль которого располагаются атомы, наиболее близкие после
ближайших соседей.
Вблизи начала координат потенциал, согласно фиг. П4.1, стремится к
бесконечности, или потенциальная энергия электрона обращается в минус
бесконечность. Этот результат является, конечно, следствием наличия
точечного положительного заряда в узле решетки. Представляется разумным
предположить, что мы смогли бы вывести аналитическое выражение для
энергии по крайней мере в этой окрестности. На самом деле,
проанализировав задачу несколько тщательнее, мы увидим, что
362
Приложение 4
аналитическое выражение для <р можно получить для любых точек внутри
ячейки Вигнера - Зейтца.
Потенциал <р внутри этой ячейки является, как мы отметили выше, решением
уравнения Пуассона V2<p=-4яр. Плотность заряда определяется совокупностью
единичного точечного заряда в начале координат и однородного фона
отрицательного
заряда, плотность которого должна быть равна -1/Я= -4/а3, чтобы полный
отрицательный заряд внутри ячейки Вигнера - Зейтца, объем которой
составляет Я=а3/4, равнялся единичному отрицательному заряду. Но внутри
ячейки Вигнера-Зейтца, а фактически и внутри сферы с радиусом, равным
расстоянию <до узла решетки с ближайшим соседним атомом, для которого
- = -- = 0 707 a V2 ' '
ар
-I
-
- Y^ronj
1 [001]^" i i i
0,1
о.г о,з
г/а
0,0 0,5
Фиг. П4.1. Поведение потенциала вблизи начала координат вдоль направлений
[001], [011] и [111] в задаче Эвальда для гране-центрированной кубической
решетки.
распределение заряда является сферически симметричным. Поэтому можно
решить уравнение Пу-' ассона в сферических координатах. Таким путем мы
найдем частное решение дифференциального уравнения
4>i"=7 + |?''* +const. (П4'1)
Этот ответ можно сра,зу проверить, найдя лапласиан приведенного выражения
для <р; он оказывается равным 4я(4/а3), т. е. величине плотности
объемного заряда с обратным знаком, умноженной на 4я, как и должно быть
согласно уравнению Пуассона. Сингулярный член 1/г представляет собой,
очевидно, потенциал точечного положительного заряда, расположенного в
начале координат.
Далее, из теории неоднородных дифференциальных уравнений нам известно,
что общее решение уравнения Пуассона должно равняться сумме частного
решения, заданного выражением (П4.1), и общего решения однородного
уравнения V2<p=0, т. е. уравнения Лапласа. Поскольку по симметрии задачи
мы должны иметь функцию, обладающую симметрией Ti, следует по-
Метод Эвальда для кристаллических полей
363
строить решения уравнения Лапласа в виде кубических гармоник, полиномов
переменных х, у, г, имеющих указанный тип симметрии. Первые три члена
получающегося в результате разложения имеют следующий вид:
[р'=-Нл*-5-(/4+т4+п4 ~4)+
+ Л6-?- [р + т* + п6 - (I* + т* + п*) + |?] +
+ As-?-[l* + m* + na- -§(/6 + m6 + n6) +
+ jj(l* + m< + n*)-^]+ ...}. (П4.2)
Здесь г - расстояние от начала координат, а I, т, п - косинусы
направляющих углов х/г, у/r, г/г соответственно.
Оказывается, что функцию, значения которой указаны в
табл. П4.1, можно довольно точно аппроксимировать, считая полный
потенциал равным Ф1 + Ф2 и используя только члены, приведенные в
