Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Слэтер Дж. -> "Диэлектрики полупроводники, металлы" -> 157

Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.

Слэтер Дж. Диэлектрики полупроводники, металлы — М.: Мир, 1969. — 648 c.
Скачать (прямая ссылка): diaelektrikipoluprovodnikov1969.pdf
Предыдущая << 1 .. 151 152 153 154 155 156 < 157 > 158 159 160 161 162 163 .. 313 >> Следующая

атома. Экспоненциальное затухание волновой функции становится чрезвычайно
быстрым, когда возмущение У(0) очень велико по
Фиг. П2.6. Энергия возмущенных энергетических уровней в зависимости от
величины энергии возмущения, s - уровни симметричного состояния; а -
уровни антисимметричного состояния.
сравнению с шириной зоны, хотя для малых У(0) оно происходит медленно. На
данном этапе мы можем провести элементарную поверку законности процедуры
предыдущих параграфов, в которых разностное уравнение заменялось
дифференциальным. Возьмем за исходное выражение (П2.16) для энергии и
заменим в нем k оператором -id/dx. Используя этот оператор, мы строим
затем дифференциальное уравнение по типу уравнения (П1.24). В данном
случае это приводит к следующему:
r(0)1FW + 2^(I)(1F+^r/?2-gJ + 1j/?4^L+ ..¦) +
+ У (*)? (*) = ??(*), (П2.20)
где V(x)-потенциал возмущения, отличный от нуля только при х=0, так что
при х, отличном от нуля, можно опустить член, содержащий V. Упрощенное
уравнение Шредингера, соответ-
352
Приложение 2
ствующее уравнению (П1.26), получается при пренебрежении в уравнении
(П2.20) всеми членами с производными выше второго порядка. Теперь в
рассматриваемом простом случае мы можем решить задачу либо.в точной, либо
в приближенной формулировке, полагая Чг=ехр(-ух), причем единственное
различие возникает в соотношении между у и Е, которое мы найдем.
Подставляя предполагаемый вид волновой функции в уравнение (П2.20),
получаем решение точного уравнения, если
? = ?( 0) + 2ЙГ(1)[1 +-^- + -^-+ •¦¦] = ef (0) + 2(f (1) ch у/?,
(П2.21)
что совпадает с уравнением (П2.18). Если же, с другой стороны, мы
пренебрежем производными четвертого и высших порядков, то получим
выражение ?=<?Г(0) +2<?Г(1)[1 + (у/?)2/2], являющееся удовлетворительным
приближением только тогда, когда величина (у/?)2 мала по сравнению с
единицей. Это имеет место в том случае, если волновая функция ехр(-ух)
лишь незначительно затухает на расстоянии R, что согласуется с условием
применимости дифференциального уравнения второго порядка последнего
параграфа. Если возмущение более интенсивно, так что волновая-функция
затухает более быстро, и дополнительный уровень оказывается дальше от
зоны, дифференциальное уравнение второго порядка неприменимо и следует
использовать разностное уравнение или дифференциальное уравнение
бесконечного порядка, которое, конечно, строго эквивалентно ему.
Прежде чем завершить обсуждение этого простого примера, поучительно
рассмотреть с несколько иной точки зрения вопрос о состояниях внутри
зоны. Для симметричных зонных состояний мы можем взять (для положительных
р) решение вида
U (р) = U ( - р) = cos (kRp - q).
(Мы уже не накладываем здесь периодических граничных условий.) При таком
выборе решения энергия по-прежнему определяется уравнением (П2.16), а
уравнение (П2.14) дает условие для величины а
"ШТУЖЖ- (П2-22>
Этот результат примечателен тем, что он демонстрирует существование
возмущенного зонного состояния, соответствующего произвольному значению
энергии в зоне. Действие возмущения состоит лишь в том, что оно
определяет фазу а. Можно было бы, конечно, построить теорию рассеяния в
зоне, непосредственно связанную с рассмотрением этого фазового угла а.
Заметим
Волновые функции примесных атомов
353
также, что фазовый угол' приближается к значению п/2 при стремлении У(0)
к бесконечности. При этом симметричное состояние в зоне стремится к нулю
на возмущенном узле. Это означает, что возмущенные зонные состояния имеют
тенденцию "обойти" примесный узел, тогда как связанное состояние,
выпавшее из зоны, становится все более концентрированным вокруг
примесного узла, как указывалось в§ 1 данного приложения. Ясно, что это
свойство должно иметь весьма общий характер.
Рассмотрим случай периодических граничных условий. Мы строим волновые
функции в виде линейных комбинаций 2N функций Ваннье атомов основной
длины периодичности. Эти функции Ваннье, так же как и окончательные
линейные комбинации, составляют ортонормированный набор, так что
совокупность величин U{p), являющихся коэффициентами преобразования от
одного набора функций к другому, образует унитарную матрицу. Эта матрица
содержит 2N строк и столбцов, поскольку имеется 2N энергетических уровней
и 2N значений р. Если теперь составить сумму произведений U*(p)U(p) по
всем 2N энергетическим уровням для заданного значения р, то, как
известно, по свойству унитарности эта сумма должна быть равна единице.
Будем считать, что это суммирование проведено для значения р=0,
соответствующего примесному атому. Относительно отделившегося состояния в
случае сильного потенциала возмущения У(0) нам известно, что его волновая
функция затухает как ехр(-у Rp), где значение у очень велико;
следовательно, коэффициенты U (р) будут очень малы для рФО. Поскольку
волновая функция должна быть нормирована, сумма произведений U*(p)U(p) по
р для фиксированного энергетического уровня должна равняться единице, а
Предыдущая << 1 .. 151 152 153 154 155 156 < 157 > 158 159 160 161 162 163 .. 313 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed