Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
являющийся смесью изотопов, будет обладать более высоким тепловым
сопротивлением, или меньшей теплопроводностью, чем металл, состоящий из
атомов только одного типа. Этот эффект наблюдается на опыте, и роль
смешения изотопов оказывается поразительно большой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Slater J. С., Phys. Rev., 76, 1592 (1949).
2. Koster G. F" Slater J. C-, Phys. Rev., 94, 1392 11954), 95, 1167
(1954); 96, 1208 (1954).
3. ClogstonA. М., Phys. Rev., 125, 439 (1962).
4. J a m e s H. M" Phys. Rev., 76, 1602, 1611 (1954).
5. F r i e d e 1 J., Adv. Phys., 3, 446 (4954).
6. Wannier G. H., Phys. Rev., 52, 191 (1937).
7. Fr en kel J., Phys Rev., 37, 17, 1276 (1931).
8. Fr e n ke 1 J., Phys. Zs. Sowjetunion, 9, 158 (1936).
9. Slater J. C., Shockley W" Phys Rev., 50,705 (1936).
10. Schottky W., Zs. Phys., 118, 539 (1941).
11. Mott N. F., Gurney R. W., Electronic Processes in Ionic Crystals,
New
York, 1940. (См. перевод: Мотт H., Герни Р.. Электронные процессы
в ионных кристаллах, ИЛ, 1950.)
12. F a n Н. Y., Phys. Rev., 62, 388 (1942).
13. Mon troll E. W" Potts R. B, Phys. Rev., 100, 525 (1955); 102, 72
(1956).
14. К о s t e r G. F" Phys. Rev., 95, 1436 (1954),
23*
3. ЗАДАЧА О СВОБОДНОМ ЭЛЕКТРОНЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
КООРДИНАТАХ
Наша задача состоит в том, чтобы решить в цилиндрических координатах
уравнение (3.15), радиальное уравнение для электрона, движущегося в
магнитном поле. Вместо г введем новую переменную, согласно равенству
pR
w = nr2^-, (П3.1)
откуда видно, что величина w равна отношению площади пг2 круга
радиусом г к фундаментальной величине h/eB (размерности
площади), с которой мы встретились в гл. 3, § 5. Введем
также вместо энергии безразмерную величину W с помощью следующего
уравнения:
ehjB k\h2 ehB W
^ 2m inT= ^~2m= ~2 ЙС0' <ПЗ'2)
где со - циклотронная частота. Преобразуя уравнение (3.15) к форме
записи, содержащей эти новые переменные, получаем
S + T?--s?r*+?*-T-°- (П3-3)
Как показал Фок, это уравнение можно решить, положив
R = wl/2e~w/2F {w), (П3.4)
где функция F подлежит определению. Подставляя это выражение в уравнение
(ПЗ.З), находим, что функция F должка удовлетворять уравнению
" + (/ + 1 - W) ? + -ЦЬ! р = 0. (П3.5)
Решение этого уравнения для функции F выражается через полиномы Лагерра.
Можно показать, что полином Лагерра Lq удовлетворяет следующему
дифференциальному уравнению1):
Х dxp+2 ^ ^ ~ dxp+l ~ ^ dxp = (П3.6)
') Это доказано, например, в книге: J. С. Slater, Quantum Theory of
Atomic Structure, vol. 1, New York, 1960.
Свободные электроны в магнитном поле в цилиндрических координатах 357
Отсюда видно, что в уравнении (П3.6) можно заменить р на /, q на n+j,
тогда получим
Это уравнение имеет точно такой же вид, что и уравнение (П3.5). Поэтому
мы получим решение уравнения (П3.5), если положим
Найденное значение энергии совпадает с величиной, определяемой выражением
(3.8), так как число n+j должно быть целым и, как мы теперь видим,
тождественно равным квантовому числу п, найденному иным методом. Для
волновых функций, однако, мы получили другое выражение, но на основании
общих принципов известно, что любая из волновых функций, соответствующих
заданному значению n+j, должна выражаться в виде линейной комбинации
функций, отвечающих тому же самому значению квантового числа и
определенных по методу Ландау. Эта линейная комбинация может быть,
однако, довольно сложной, и использование настоящего метода позволяет
избежать необходимости ее отыскания.
Рассмотрим волновые функции. Функцию F, согласно уравнению (А15.7)
цитированной выше книги, можно записать в виде
На основании формул (А15.3) и (А15.4) той же книги эту функцию можно
представить в виде полинома
т г"
*7 п+/
(П3.7)
F = -^jLn+i, W = 2п + j + 1,
(П3.8)
F = LhH(w).
(П3.9)
Ln+i(w) = Во + B]W + ... + BnWn, (П3.10)
где
Bs= ~B
4 (n + 1 - s)
Вп = (-1У
s-1 (/ + 2S-1) (/ + 2S+]) - (/¦ -1) (/+1) '
¦ Ч/+1 (g + /)!
' n\
(П3.11)
Комбинируя эти выражения с определением w (П3.1), получаем полное решение
задачи. Это решение в ненормированном виде приведено в формуле (3.16).
4. МЕТОД ЭВАЛЬДА ДЛЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ; ГРАНЕЦЕНТРИРОВАННАЯ
КУБИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА
В этом приложении мы специально рассмотрим применение метода Эвальда к
случаю гранецентрированной кубической решетки, что требуется для
исследования структуры хлористого натрия. Подробное вычисление потенциала
<р в различных точках элементарной ячейки было выполнено для этого
частного случая автором и де Сикко. Через а обозначено ребро кубиче ской
ячейки, как и в тексте (гл. 9, § 3). Расчет был проведен для сетчатого
набора точек, в котором соседние значения х/а, у/а, z/а разделены
интервалами, равными 0,05. Это составило бы (20)3 = 8000 точек для
кубической ячейки с ребром а, но, поскольку ячейка Вигнера - Зейтца
занимает одну четвертую часть этого объема, в ней лежи? 2000 точек.
Вследствие симметрии имеется много эквивалентных точек с одинаковыми
значениями потенциала, который, конечно, будет обладать полной симметрией
