Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
отсюда следует, что, поскольку вклады в сумму, соответствующие рФ0, очень
малы, член с р=0 должен быть очень близок к единице. Вспомним теперь,
что, как мы установили, сумма величин U*(p)U(p) по всем энергетическим
уровням при фиксированном р должна быть равна единице. Для р=0 вклады от
всех других уровней, как мы только что выяснили, должны быть очень малы;
это показывает, что в случае сильного возмущения волновые функции зонных
состояний почти совсем не перекрываются с возмущающим атомом, на котором
локализовано возмущение. Существенно то, что использованное здесь
рассуждение имеет общий характер, поскольку оно может быть применено в
более сложных случаях, когда точные решения найти невозможно.
Рассматривая этот простой пример, мы выяснили некоторые основные черты,
проявляющиеся при непосредственном решении разностного уравнения. В
работах [2], к которым мы отсылаем читателя, проведено значительно более
глубокое иссле-
23 Дж. Слэтер
354
Приложение 2
дование задачи. Наш несложный пример прост в первую очередь потому, что
потенциал возмущения V отличен от нуля лишь на одном атомном узле. В
указанных работах рассматривается более общий случай, когда возмущение
отлично от нуля на небольшом числе атомных узлов. Показано, что в этом
случае решение разностных уравнений можно свести к исследованию
секулярной задачи с детерминантом, число строк и столбцов которого равно
числу атомных узлов, где потенциал возмущения не равен нулю. Это
упрощение осуществляется с помощью метода, являющегося модификацией
метода функции Грина; сначала строится решение, соответствующее
одиночному возмущенному узлу, весьма сходное с функцией, взятой в нашем
простом примере, а затем строится линейная комбинация подобных функций,
отвечающих различным узлам, на которых потенциал возмущения отличен от
нудя, причем коэффициенты при различных функциях определяются из
секулярного уравнения.
С помощью этого метода можно рассмотреть довольно сложные задачи и
получить для них точные решения. В частности, оказывается возможным
исследовать трехмерные задачи не только в случае локализации потенциала
возмущения на одиночном атомном узле, но и тогда, когда возмущение
отлично от нуля на ряде соседних узлов, что уже близко к ситуации,
фактически имеющей место в задаче о примеси в металле. При этом
выясняется, что возмущение должно достичь некоторой критической
величины,"' чтобы возмущенное состояние отщепилось от непрерывного
спектра. С увеличением интенсивности возмущения достигается сначала
первое критическое значение, для которого имеется дискретное состояние s-
типа, отделенное от непрерывного спектра энергетическим интервалом
конечной величины. При дальнейшем увеличении возмущения отщепляется
состояние p-типа и т. д. Иными словами, вместо возникновения бесконечного
набора дискретных состояний, как это бывает в задаче водородоподобного
типа в случае кулонов-ского потенциала, появляется только конечное число
дискретных состояний, подобно тому что происходит в задаче с
прямоугольной потенциальной ямой в обычной квантовой механике, т. е.
когда потенциал постоянен вне некоторой сферы и равен также постоянной,
но меньшей величине внутри этой сферы. В указанных работах показано, что
между этой задачей с прямоугольной потенциальной ямой и реальной задачей
о примеси в металле имеется очень большое сходство.
Мы лишь кратко описали эти общие методы рассмотрения примесных состояний,
но в следующем томе они будут развиты в.виде, удобном для трактовки таких
случаев, как магнитные примеси в металлах. Подобные методы были
использованы
Волновые функции примесных атомов
355
также в задаче о колебаниях решетки для случая, когда решетка содержит
один или большее число примесных атомов. При этом возможны локальные
колебания, в которых участвует в основном сам примесный атом (или
примесные атомы), причем возмущение экспоненциально затухает при удалении
от него. Подобное рассмотрение было проведено Монтроллом и Поттсом [13],
а также другими авторами, упомянутыми в библиографии.
Дальнейшее применение методы, описанные в данном приложении, находят в
задачах о рассеянии волн в периодической среде, содержащей примесный
атом. Эту задачу рассмотрел Костер [и] с помощью методов, непосредственно
вытекающих из упомянутого выше метода функций Грина. В случае рассеяния
электронных волн результаты непосредственно применимы к задаче об
электрическом сопротивлении, обусловленном примесными атомами, -
остаточном сопротивлении, упомянутом в гл. 1. В случае рассеяния волн
механических колебаний мы встречаемся с эффектом, обусловленным наличием
примесных атомов, который состоит в появлении добавочного теплового
сопротивления или в уменьшении теплопроводности вещества. В этой связи
интересно отметить, что два различных атома элементов с одинаковым
атомным номером, но с различными атомными весами будут совершенно по-
разному вести себя в задаче о механических колебаниях, так что металл,
