Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
распоряжаться параметром g, играющим роль заряда. Другими словами,
наиболее общее выражение для калибровочно-инвариантного лагранжиана поля
Янга - Миллса имеет вид
3 = -j|- tr {(dv*s^ix - d)xS4v) + gziZs 1 [.s/ц, <s#v]}2 • (7.8)
Роль параметра калибровочного преобразования для этого лагранжиана играет
константа g:
g = gziZ2l¦ (7.9)
Чтобы теория была самосогласованной, тот же параметр должен фигурировать
и в определении ковариантной производной. В частности, в операторе М,
который был определен формулой
M = dvyVL = dll(dll-g[stll, ]), (7.10)
константу g нужно заменить на g. Записывая detM(g) в виде интеграла по
полям фиктивных частиц
det М (g) = const ^ ехр j tr ^ г2сд" (Дщ - z{z2xg X
Х[^ц, с])dx 1П dcdc, (7.11)
Я
где
Z2lZi = Z2lZi, (7.12)
и мы опять воспользовались возможностью умножения лагранжиана как целого
на произвольную константу, получаем наиболее общее выражение для
допустимого
§ 7. СТРУКТУРА ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО ДЕЙСТВИЯ 179
эффективного лагранжиана
&R = -j tr |-jZ2 [0v^n - d^v) + z{Z2lg W^]l -
- 2^-(f (D)^^)2 -22(c Dc - c]). (7.13)
Константы z\, z2, zu z2 связаны соотношением (7.12). Привычное условие z\
= z2 не является необходимым, и вообще говоря, не выполняется: лагранжиан
(7.13) имеет ту же структуру, что и неперенормированный лагранжиан,
отличаясь от последнего лишь мультипликативной перенормировкой полей si-
", с, с, заряда g и калибровочного параметра а
"s^n -> z2s?p. с -> z'2 с, с z'l'c,
(7.14)
g -> ziz2 l2g, a -> 22a.
В отличие от общего выражения (7.7), этот лагранжиан содержит всего три
независимых контрчлена, и на первый взгляд не очевидно, что с их помощью
можно устранить все расходимости.
Вводя инвариантную промежуточную регуляризацию, можно построить
производящий функционал для функций Грина ZR(J), порождаемых лагранжианом
(7.13). Мы будем считать, что регуляризация осуществляется с помощью
метода высших ковариантных производных, описанного в § 3. Поскольку во
всех дальнейших рассуждениях используется лишь инвариантность
регуляризованного действия, не будем выписывать явно регуляри-зующие
члены, имея в виду, что они описываются, например, формулой (4.34).
Роль параметра калибровочного преобразования для лагранжиана (7.13)
играет константа g - ZiZ2~lg. Поэтому обобщенные тождества Уорда, которым
удовлетворяет функционал ZR(J), отличается от тождеств (6.15) заменой g в
операторах М~' и на g:
тИп>*{т^} +
Х^*1,гя(т ^r)dy}zR = 0, (7.15)
180 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЯ
где значок обозначает, что константа g, фигурирующая в определении
оператора М-1, заменена на g.
В этой формуле удобно перейти к перенормированным функциям Грина
фиктивных частиц, определенным равенством
GRa (у, х, J) = ЛГ1 ^ сй (у) са {х) ехр {г jj [г{с1 (s) Пс' (s) -
- z/kl g~c{ (s) д" [At (s) cl (s)] + SlM (s) +
+ A№]ds}Y[dstdcdc. (7.16)
X
Для этого заметим, что
MyxabZR = ЛГ1 ^ са (у) сь (х) ехр |г ^ \са (s) ? са (s) -
- Z2%gtabd са (s) ду\_А1 (s) cd (s)] + (s) +
+ AW] ds } Д й?ф dc dc = z2GR (y, x, J). (7.17)
Я
Последнее соотношение получается из (7.16) заменой переменных _ _
c->z2'hc, c-+z2'l2c. (7.18)
Представляя источник /ц в правой части тождества
(7.15) в виде /ц = /^г + <3ц ?_15v/v, и пользуясь тем, что
% (Л (g) М-%1 = ^6 (х-у), (7.19)
перепишем эти соотношения в виде
Do (х - у) (У) dy | ZR +
+ J 4Г 6 (У) gS/cd у Gr (у, х, J) dy. (7.20)
Мы покажем, что при подходящем выборе констант z2, ?2, Z\ из тождества
(7.20) следует конечность всех функ-
§ 7. СТРУКТУРА ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО ДЕЙСТВИЯ 181
ций Грина. Доказательство будет строиться по индукции. Предполагая, что
все диаграммы до п-го порядка включительно конечны, мы докажем, что
функционал F, стоящий в правой части уравнения (7.20), конечен до порядка
п -f- 1. Отсюда следует, что функционал
также конечен с точностью до порядка n+ 1. Последнее, как мы увидим,
означает, что конечны все функции Грина, кроме, быть может, двухточечных
функций поля Янга - Миллса Гдд и фиктивных частиц Г-с. Из этих функций
расходимости устраняются с помощью констант перенормировки z2 и z2, выбор
которых остается в нашем распоряжении.
Доказательство выглядит особенно просто в случае калибровок, для которых
продольная часть функции Грина поля Янга - Миллса быстро убывает при
больших импульсах, т. е. когда фигурирующая в определении обобщенной а-
калибровки функция f(k2) имеет асимптотику k2п с п > 1. (Сюда же,
разумеется, относится и собственно лоренцева калибровка а = 0, когда
продольная часть Dp.v равна нулю.)
Доказательство в случае произвольной калибровки не содержит никаких
принципиально новых моментов, но более громоздко. Чтобы не отвлекать
внимание читателя техническими деталями, мы рассмотрим вначале случай
f(k2)^^0k2n, 1, и вернемся к обсуждению ка-
либровок общего вида позже, когда будем исследовать зависимость функций
Грина от калибровки.
В низшем порядке g2 расходятся лишь двухточечные функции Гдл и Г-с.
Собственная вершинная функция
