Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
г/v, получаем
6 2г
= "ЙФ"(Т?)^Г = - 6аЬ6(л: - у). (6.19)
=0
\Ьа
/ =0
Вариационная производная
2 7
(6.20)
1 62z
(х) 6/(r) (у)
1 = 0
есть не что иное, как двухточечная функция Грина поля Янга - Миллса
Gp\(x, у). Равенство (6.19) показывает, что продольная часть полной
функции Грина
G^v [х - у)= д^д\ П dpdoGpg (х - у) (6.21)
168 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
совпадает со свободной:
Otv - о?, - - j е-'" ik. (6.22)
Таким образом, в полной аналогии с электродинамикой радиационные поправки
к продольной части функции Грина отсутствуют. Соответствующие тождества
для трех- и четырехточечных функций выглядят значительно сложнее, чем в
электродинамике, поскольку в них нетривиальным образом участвуют функции
Грина фиктивных частиц.
Следствием обобщенных тождеств Уорда являются соотношения между
контрчленами, необходимыми для устранения расходимостей из функций Грина.
Например, из тождества (6.19) для двухточечной функции Грина, следует,
что контрчлен, ответственный за перенормировку продольной части волновой
функции равен нулю. Можно показать, что если функции Грина удовлетворяют
обобщенным тождествам Уорда, то контрчлены образуют калибровочно-
инвариантную структуру. Это можно сделать либо путем непосредственного
анализа системы (6.15), либо перехода к аналогичным тождествам для
одночастично неприводимых функций Грина. Тем самым будет доказано, что
перенормировка не нарушает калибровочной инвариантности теории. Проще,
однако, поступить наоборот - с самого начала ввести в лагранжиан
калибровочно-инвариантные контрчлены наиболее общего вида, а затем с
помощью обобщенных тождеств Уорда доказать, что все функции Грина в такой
теории стремятся при снятии промежуточной регуляризации к конечному
пределу. Именно так мы поступим в следующем параграфе.
' Получим теперь обобщенные тождества Уорда для случая, когда поле Янга -
Миллса взаимодействует со скалярными ф и спинорными ф полями.
Производящий функционал для функций Грина в этом случае можно записать в
виде
Z(J, ?, Л.т^ЛП1 J ехр {фл + $ (f(nW +
+ "Ь ?!фг "Ь Ф*V "Ь л6Фй] dx | X
ХА МДб - W) й?ф dW d(р с/ф <*ф. (6.23)
*
$ 6. ОБОБЩЕННЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА
Калибровочно-инвариантное регуляризованное действие включает также члены,
описывающие взаимодействие спинорных и скалярных полей.
Все приведенные выше рассуждения автоматически переносятся и на этот
случай. Единственное отличие состоит в том, что одновременно с заменой
переменных
(6.4), нужно перейти к новым полям ф(r), Ф(r)
Ф ->• ф(r), ф -> al?(r). (6.24)
В результате в экспоненте преобразованного функционала появятся
дополнительные члены
\ (? V + фУ + пЧ*) = ? + 6ХФ У + rf бф* (6.25)
и обобщенные тождества Уорда будут иметь вид
^ ехр jt |jSa + ^ |ЧЙ/Й + ф' + фУ + +
+ ¦- (/ (?) д^)2] dx } det М {-L /2 (?) (у) +
+ $ W (*) ЧУ (г, у, st)Ja + ?' (г) +
В таком виде обобщенные тождества Уорда справедливы как в симметричной
теории, так и в теории со спонтанно нарушенной симметрией. Отличие
состоит лишь в явном виде калибровочного преобразования скалярных полей
ф(r). Если поля ф реализуют некоторое представление калибровочной группы Q
с генераторами Гс
6Фа = g (Г)аУис + О (и2), (6.27)
то тождество (6.26) можно записать в виде (спинорные поля опускаем)
+ S [А(у) {V, [тМ G *> у- ь) }Ьа +
+ gt,b (у) (ГУ т ~dy = 0. (6.28)
. МУо I ' ь%а(у) I
170 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
В случае спонтанно нарушенной симметрии преобразование (6.27)
модифицируется следующим образом
6Фа = g (Тс)аЬ <рV + g (Гс)аЬ гьис + О (и2), (6.29)
где гь - постоянный вектор, который без ограничения
можно считать направленным по оси с номером В: гь = гдВь. Соответственно
в тождестве (6.28) появляется дополнительный член
rg S lb (у) (гТ Gda (у, х, /, g) dy. (6.30)
Например, для модели (1.3.25), в которой скалярные поля образуют
комплексный SU2-дублет
( *Лх) + В,(х) \ (б31)
т w V ф2 (х) ) V2 W2 [х, + а(х)~ /Вз (х) J
калибровочное преобразование имеет вид бет = (В V*),
6Ва = - гп\11а -y еаЬсВьис 1- оиа, (6.32)
mi '- №
V2
Обобщенные тождества Уорда выглядят следующим образом:
4-Р(П)""[т + S {[4 (у) (тт) -
~ Т ejfw " й {у) (^ +
+ Щу) + т'бМ)] Qda (У> х' 7- 0}dy = о. (6.33)
В заключение этого параграфа мы покажем, что обобщенные тождества Уорда
(6.14) выражают некоторую дополнительную, не имеющую классического
аналога, симметрию эффективного лагранжиана квантованного поля Янга -
Миллса. (Эффективным лагранжианом мы называем выражение, стоящее в
показателе экспоненты
§ 6. ОБОБЩЕННЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА
17!
в формуле (3.3.54) для S-матрицы. Это выражение включает помимо
классического лагранжиана Янга-Миллса фиксирующий калибровку член и
лагранжиан фиктивных полей.)
Запишем производящий функционал для функций Грина в виде континуального
интеграла от ехр {/X локальное действие), вводя явно поля фиктивных
частиц
Z = ЛГ1 5 ехр { i \ [- i (d^f + caMabcb +
+ c\a + Ласа] dx | JJ йзФ dc dc. (6.34)
Я
В этой формуле мы ввели помимо источника для поля Янга - Миллса
