Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Славнов А.А. -> "Введение в квантовую теорию калибровочных полей " -> 52

Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.

Славнов А.А., Фадеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей — М.: Наука, 1978. — 238 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievkvantovuuteoriu1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 67 >> Следующая

Формально все рассуждения переносятся и на симметричную теорию, однако в
этом случае, как уже отмечалось, матричные элементы на массовой
поверхности содержат дополнительные инфракрасные сингулярности. Поэтому в
рамках теории возмущений S-матрица в симметричной теории, строго говоря,
не существует.
Итак, рассмотрим перенормированный производящий функционал для функций
Грина, который можно записать в виде
Z (V у - ЛГ' (ехр {i (+ i;a' + Sa"] л} х
X А №) П б (дц-я^ц) ds4- da d$. (8.1)
X
Здесь SBr - перенормированный калибровочно-инвариантный лагранжиан поля
Янга - Миллса, взаимодействующего с полями материи. (Для определенности
мы рассматриваем лагранжиан (7.36).) Источникбудем считать поперечным
дц/? = 0. (8.2)
§ 8. ПЕРЕНОРМИРОВАННАЯ S-МАТРИЦА
i 93
Матричные элементы 5-матрицы выражаются через вариационные производные Z
по формулам приведения
Здесь k, k' обозначает импульсы векторных частиц, р, р' - импульсы
скалярных частиц. Постоянные V н W являются нормирующими множителями
Если двухточечная функция Грина нормирована на массовой поверхности на
единицу
то эти множители отсутствуют, и мы возвращаемся к формуле (3.64).
Вычисленные в лоренцевой калибровке матричные элементы (8.3) при снятии
промежуточной регуляризации стремятся к определенному конечному пределу.
Покажем, что в действительности значения матричных
1 1п
п + т 1 + д
'2
J, ?=о
dx. (8.5)
dx, (8.4)
(р2 - rri2) G (р2) -I, р2 = т2,
(8.6)
194 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
элементов (8.3) не зависят от конкретного выбора калибровочного условия.
Перейдем в выражении (8.1) для производящего функционала Z(J, ?") от
лоренцевой калибровки к унитарной калибровке
Ва - 0. (8.7)
Инвариантность перенормированного лагранжиана Sr позволяет
воспользоваться для этого тем же приемом, который мы использовали в главе
II.
Вводя калибровочно-инвариантный функционал Л'(о, В, g), определенный
равенством
A'(a, J, g)J б(^/м)Д d(D= 1, (8.8)
X
где
== $ - rh\U - J- [S0, и] - J- аи + О (и1), (8.9)
можно переписать функционал Z(J,Z) в виде Z (Уц, Z) = N-1 J ехр {i J [SR
+ ГЛ+^о) dx } Д (g, st)X X П 6 А' (#. §. о) 6 (&*) da dst da d?.
(8.10)
X
Переходя к новым переменным
а-> а05""', со-1 ->со (8.11)
и интегрируя по ю, получаем в полной аналогии с ре-
зультатами главы II
Z (J, Z) = ЛГ1 J ехр { i J \SR + J°u ")* + S0a"] dx } X
X A' (a, g) Д б (Я) ds4- da dSS, (8.12)
X
где
•Л = -f~ bs&u. - Ч- dull - g u] -f- О (и2),
s о (8-13)
оС0 = а + ба = ст - у (Йи) -f О (и2),
а функция и определяется из уравнения
= ? и - gdц [^ц, и] + -)- ... = 0. (8.14)
§ 8. ПЕРЕНОРМИРОВАННАЯ S-МАТРИЦА
195
Значение функционала Д' (ст, Л, g) на поверхности Л - О равно
Функционал (8.12) отличается от производящего функционала для функций
Грина в унитарной калибровке лишь видом членов с источниками. Покажем,
что при подстановке в редукционную формулу (8.3) это различие исчезает,
т. е. перенормированные матричные элементы не меняются при замене
Вариационные производные функционала (8.12) выражаются через функции
Грина вида:
. .. (<т)°т (хт) оа (*,) ... affl (xq) Д 6 (Л) da d$, (8.17)
где 0" определяются формулами (8.13). Поскольку источники /ц считаются
поперечными, линейный член д^и не дает вклада и разложение в ряд теории
возмущений и 6а начинается с членов, квадратичных по полям.
Функциям Грина (8.17) соответствуют диаграммы, изображенные на рис. 16.
Диаграммы типа (а) и (b) содержат полюсы по всем переменным pi, k,-.
Диаграммы типа (с) являются одночастично неприводимыми, по крайней мере
по одному из импульсов pi, kj. (На рисунке изображена диаграмма,
одночастично неприводимая по импульсу р\. Это значит, что ее нельзя
разбить на две части, связанные лишь одной линией, по которой
распространяется импульс pi). Из исследования аналитических свойств
Л' (а, Л, g) = det I th\ -j
0 1
^a^~~ |3 = const det I mi + 3.
(8.15)
(8.161
1 \
i
= ЛГ1 5 exp { i 5 [S?r] dx } А' (а, Л, g) (<,)0' (a,) ...
X
196 гл. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
диаграмм Фейнмана известно, что одночастично неприводимые диаграммы не
имеют полюсных особенностей
Су
Рис. 16.
по соответствующим переменным. Поэтому если коэффициентные функции,
отвечающие диаграмме (с), умножить на произведение
J[(k2i - m2l)JJ(p^ - m22) (8.18)
и положить k2i = m2l, pj - ml, то это выражение обратится в нуль.
Диаграммы типа (b) получаются из диаграмм (а) путем вставок во внешние
линии блоков, обозначенных на рис. 16 буквами Пл, Па. На массовой
поверхности
§ 8. ПЕРЕНОРМИРОВАННАЯ S-МАТРИЦА
197
это эквивалентно умножению соответствующих функций Грина на константы,
равные значениям функций Пд(&2), Па(р2) в точках k2 = т,2, р2 - т2.
Значения функций Грина с т внешними векторными и q внешними скалярными
линиями на массовой поверхности при переходе
от одной калибровки к другой меняются следующим образом
Здесь G(u)- функция Грина в унитарной калибровке, a G(i) в лоренцевой
калибровке. Очевидно, что совершенно аналогичная формула связывает
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed