Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
функции Грина и в других калибровках.
Для двухточечной функции Грина соответствующее преобразование изображено
графически на рис. 17. Значения двухточечных функций Грина на массовой
поверхности в различных калибровках связаны соотношением
+
-•+•-I л л
Рис. 17.
П q
4/ =
i I
(8.20)
198 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
Возвращаясь к формуле (8.3) видим, что при переходе к унитарной
калибровке фурье образы функций Грина с т векторными и q скалярными
внешними линиями умножаются на
(1 + Пл(т?))т(1 +П"(т|))в, (8.21)
но одновременно нормирующие константы V и W умножатся на (1 + П
1уг(/я^))2 и (1 + По (/п|))2 соответственно. В результате выражение для
перенормированного матричного элемента остается неизменным.
Из этих рассуждений, являющихся по сути дела аналогом известной в
аксиоматической квантовой теории теоремы Борхерса, следует, что
перенормированная 5-матрица не зависит от конкретного выбора
калибровочного условия и, следовательно, перенормированная теория
удовлетворяет принципу относительности.
В калибровке Л = 0 перенормированный лагранжиан имеет вид
S'r - 3?ym +
( zimzZl 1 (ir& + bmV)a2 26mlm,
+ { T z^d^a - 1 2' 2 2j----------------о +
5!li ,2 2-1*42 , *1Ф2* ff202A2 <j4 ]
+ 2 lcp 2cp II ' 8 4W[ * 32m2 ° }
(8.22)
Все нефизические частицы (голдстоуновские бозоны, фиктивные с-частицы,
продольные кванты векторного поля) отсутствуют и унитарность матрицы
рассеяния очевидна. При этом в силу независимости 5-матрицы от калибровки
матричные элементы на массовой поверхности при снятии регуляризации
стремятся к определенному пределу. Заметим, что для функций Грина вне
массовой поверхности порождаемых лагранжианом (8.22) это неверно.
Свободная функция Грина векторного поля, отвечающая лагранжиану (8.22),
имеет вид
- 1 S-iv - k,.kvmr2
л =------- 1* Vi (8.23)
^ (2it) k2-mi V '
и при k-+oo стремится к константе. Вычисляя индекс расходимости
диаграммы, содержащей п3 тройных век-
§ 8. ПЕРЕНОРМИРОВАННАЯ S-МАТРИЦА
199
торных вершин, пц четверных вершин и Гех внешних векторных линий, находим
со = 4 + Ащ + 2п3 - 21ех; (8.24)
с ростом tii число типов расходящихся диаграмм неограниченно возрастает,
т. е. вне массовой поверхности. Теория неперенормируема. Тем не менее для
устранения расходимостей из матричных элементов на массовой поверхности
достаточно конечного числа контрчленов, явно выписанных в формуле (8.22).
Калибровочная инвариантность приводит к физической эквивалентности явно
перенормируемой и явно унитарной калибровок, благодаря чему
перенормированная S-матрица обладает обоими этими свойствами.
Очевидно, что все эти выводы не зависят от конкретного вида модели (8.22)
и в равной мере относится и к модели (1.3.13), а также к моделям,
включающим дополнительное калибровочно-инвариантное взаимодействие
фермионов. Существенна лишь калибровочная инвариантность
перенормированного лагранжиана.
В заключение этого параграфа мы вернемся к вопросу о доказательстве
конечности функций Грина в перенормируемой калибровке общего вида. До сих
пор мы рассматривали либо лоренцеву калибровку, либо калибровки, в
которых продольная часть векторной функции Грина быстро убывает при юо.
Покажем теперь, что это условие не является необходимым и контрчлены вида
(7.3) обеспечивают конечность функции Грина в любых перенормируемых
калибровках, т. е. таких калибровках, для которых продольная часть
свободной функции Грина векторного поля убывает при k->oo не медленнее,
чем поперечная. Простейшим примером такой калибровки является калибровка
с / (/г2) =1.
В любой такой калибровке расходящиеся диаграммы имеют структуру, уже
обсуждавшуюся выше; расходиться могут лишь диаграммы с одной, двумя,
тремя и четырьмя внешними линиями. Как и раньше, мы можем выбрать
константы z2, z2, z2,т, z2^, zu z, 6m, таким образом, чтобы сделать
конечными все двухточечные функции Грина и вершинные функции Г-сЛ, Га" а
константы zh 2iq)1 z-Jit определим из условия инвариантности
200 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
перенормированного действия
2^2 ^1^2 21ф22ф 21ф22ф ¦ (8.25)
Покажем, что отношения типа
Г Г-
,4' Уф Л
(глл)7'' (гфф)(глл)1/г
и т. д., (8.26)
где все внешние векторные концы считаются поперечными, на массовой
поверхности не зависят от калибровки. Действительно, из формул (8.19),
(8.20) следует, что при переходе от одной калибровки к другой
рассматриваемые функции меняются следующим образом (мы опускаем тензорную
структуру):
TA (kv k2, й3)-(1 + пЛК>)3Ы*>' К k3), TAA(k)->(l+nA(m*)frAA(k), Щ = т\.
(' }
Подставляя эти выражения в формулу (8.26), убеждаемся в инвариантности
этого отношения. В лоренцевой калибровке все функции по доказанному выше
конечны. Функция Глл конечна в силу сделанного выбора констант Zi.
Следовательно, в любой калибровке функция Гл,(?,, k2, k3) при Щ = т\
конечна. Поскольку в перенормируемых калибровках эта функция может
расходиться лишь логарифмически, отсюда следует конечность ГД1 при любых
