Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Глд г= Г,?" (k) во втором порядке связана с функцией
(7.21)
Грина G(Jv (&) соотношением
Gaaв (k) = Da(tm) (k) С" (k) Dt (k) + D% (k). (7.22)
Из тождества (7.20) следует
f'(a ^ kak&Gt (k) = Г$О2) X
;,(!_#) +bab = ba\ (7.23)
182 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
т. е. функция r?v(&) поперечна
(к) = ЬаЬ Сk2g"v - kukv) П (k2). (7.24)
Следовательно, константы Ь\ и Ь2 в лагранжиане (7.7) равны нулю, и для
устранения расходимости достаточно одного контрчлена zT • Аналогичным
образом контрчлен zf* обеспечивает конечность функции Грина фиктивных
частиц.
Докажем теперь конечность вершинных функций третьего порядка. Вершинной
функции Г-^ соответствуют сильно связанные диаграммы, изображенные на
2
ля/ У; У 00 Д У, У
Рис. 10. Поправки третьего порядка к вершинной функции Г"сд.
рис. 10. Как было показано выше, индекс этих диаграмм равен нулю, т. е.
формально они логарифмически расходятся. Нетрудно убедиться, однако, что
в калибровках, для которых / \kfn, 1, расходимость
отсутствует. Действительно, аналитическое выражение, отвечающее
диаграммам на рис. 10, представляет собой в координатном представлении
сумму членов типа
~ ^ D (х - xi) dv {D (xi - zi) dzp [DPil (zi - z) D (zi - y\)\ X X di'
[DvK (xi - У1) D (pi - y)]} dxi dy, dz,.
Интегрируя по частям, это выражение легко преобразовать к виду, когда
производные, стоящие в вершинах Х\ и у и действуют либо на векторную
функцию Грина, в результате чего в интеграл дает вклад лишь ее быстро
убывающая продольная часть, либо на внешнюю линию. Поэтому истинный
индекс расходимости понижается, а диаграммам на рис. 10 отвечают
сходящиеся
§ 7, СТРУКТУРА ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО ДЕЙСТВИЯ 183
интегралы. Соответственно, в рассматриваемых калибровках константа z\
конечна.
Для функции Грина G^bp (х, у, z) тождество (7.20) дает
i/2(D)<9Xv 1(х, у, z)=gz/ed(gva-^)X
X
1 620f (у, X, J)
(О3 bJea(y)6J'(z)
+ (6<->-c, y*-+z, v+~*р). (7.25)
/=о
Функции
б*OdRa (у, X, /)
6ЗД 6/?(z) раженные на рис. 11.
отвечают диаграммы, изоб-
/=о
Рис. 11. Диаграммы, отвечающие функции
с)
б20%а (у, х, У)
бД 0/)бУ" (г)
/=о
Диаграммы (6) и (с) слабосвязные, и сходимость соответствующих интегралов
следует из конечности двухточечных функций Грина G%v и Gab второго
порядка.
Диаграмма (а) имеет структуру, аналогичную диаграмме, описывающей переход
двух Фиктивных частиц
184 гл. IV. перенормировка калибровочных теории
в одну векторную (см. рис. 10). Она отличается от последней лишь видом
крайне левой вершины, отмеченной на рисунке крестиком. Из этой вершины
выходят одна векторная и одна фиктивная линии, а производные отсутствуют.
Формально диаграмма на рис. 11, а имеет индекс нуль, однако по тем же
причинам, что и выше, фактический индекс на единицу меньше, и
расходимость отсутствует.
Таким образом, правая часть равенства (7.25) конечна, и следовательно,
конечна и функция djG^vp (х, у, г) в третьем порядке по g... Поэтому
конечна и дивергенция собственной вершинной функции Г$р
(k + p)"Tw(k, р)<оо. (7.26)
Расходящаяся часть Y^vl(k, р) может быть лишь полиномом не выше первого
порядка. Условие (7.26) означает, что этот полином тождественно равен
нулю, и следовательно, функция (к, р) в третьем порядке по g конечна. Для
устранения расходимости из вершинной функции r?vp нам не понадобилось
вводить независимую константу перенормировки z\. Эта функция
автоматически оказывается конечной, если zi - z\ZtXZi.
Доказательство конечности вершинных функций произвольного порядка
проводится совершенно аналогично.
Рассмотрим функционал F, стоящий в правой части уравнения (7.20). Его
связная часть представляется диаграммами, изображенными на рис. 12. Пусть
все диаграммы, участвующие в разложении этого функционала, конечны вплоть
до порядка п. Для доказательства конечности функционала F в (п + 1) -
порядке достаточно рассмотреть диаграммы на рис. 12, в которых
отсутствуют вставки во внешние линии, причем, по предположению, все
подграфы конечны.
Диаграммы на рис. 12 имеют структуру, аналогичную диаграммам,
изображающим функции Грина G(x,y,J) с двумя внешними фиктивными линиями и
произвольным числом внешних векторных линий. Они отличаются лишь видом
вершины, отмеченной крестиком. Из этой вершины выходят одна векторная и
одна фиктивная линии, а производные отсутствуют.
§ 7. СТРУКТУРА ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО ДЕЙСТВИЯ 185
Поэтому индекс диаграмм на рис. 12 такой же, как у соответствующих
диаграмм для G(x,y,J). Диаграмма с двумя внешними линиями имеет индекс
единица. По соображениям лоренц-инвариантности соответствующее
аналитическое выражение имеет вид
5 4" (У) Фц (y~x)dy=^ (у) дцФ (у - x)dy = 0.
Диаграмма с тремя внешними линиями имеет индекс 0 и в принципе
логарифмически расходится. Остальные диаграммы имеют отрицательный
индекс. Дословно повторяя рассуждения, проведенные выше для
Рис. 12. обозначает внешний классический источник J
диаграммы третьего порядка, убеждаемся, что логарифмические расходимости
в диаграммах на рис. 12, а также в диаграммах, отвечающих вершинной
