Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
антикоммутирующие источники т), г) для фиктивных полей. Функционал (6.34)
отвечает определенному выбору калибровочного условия (для простоты мы
рассматриваем случай )(П)=1). Поэтому эффективное действие, стоящее в
показателе экспоненты, не является калибровочно инвариантным. Тем не
менее существуют преобразования, затрагивающие одновременно как поля Янга
- Миллса, так и фиктивные поля с, с, относительно которых эффективный
лагранжиан инвариантен. Эти преобразования имеют следующий вид
Al (х) Al (х) + [V^c (х)Г е, (6.35)
са (х) с° (х) - -j tabdcb (х) cd (х) е, (6.36)
ca{x)^ca{x) + \VdlAl{x)]&. (6.37)
Здесь е - независящий от х параметр, являющийся элементом алгебры
Грассмана
е2 = 0; ес + се = 0; ес + се = 0; [е, = 0. (6.38)
(Напомним, что фиктивные поля с, с также являются антикоммутирующими
переменными.) Преобразования подобного типа, нетривиальным образом
перепутывающие коммутирующие и антикоммутирующие величины, получили
название суперпреобразований.
Убедимся, что эффективный лагранжиан, фигурирующий в формуле (6.34),
инвариантен относительно пре"
172 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
образований (6.35) - (6.37). Преобразование (6.35) является частным
случаем калибровочного преобразования, поэтому оно оставляет инвариантным
первый член в показателе экспоненты (6.34). Нетрудно проверить, что
вариация б(\7цС) тоже равна нулю. Действительно,
и поэтому правая часть (6.39) обращается в нуль. Таким образом полная
вариация эффективного лагранжиана равна
± аия (УцС)а е - i д"А?МаЬсьв. (6.41)
Вспоминая определение оператора М, видим, что это выражение равно нулю.
Преобразования (6.35) - (6.37) не имеют наглядного геометрического смысла
и инвариантность эффективного лагранжиана относительно этих
преобразований не связана с сохранением какой-либо наблюдаемой величины.
Тем не менее она приводит к ряду полезных следствий, и в частности, может
быть использована для альтернативного вывода обобщенных тождеств Уорда.
С этой целью сделаем в интеграле (6.34) замену переменных интегрирования
(6.35) - (6.37). Якобиан этого преобразования, который символически можно
записать в виде
очевидно, равен единице. Следовательно, в результате замены (6.35) -
(6.37) меняются лишь члены с источниками. Выписывая явно их вариацию и
приравнивая нулю
tabdtbefcfcd = Y tabdtdefcecf, (6.40)
(6.42)
§ 6. ОБОБЩЕННЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА
173
производную dZ/йг, получаем соотношение
О = J ехр { / J [S', + W + с V + Л V] dx } X
X {/? (у) [V (у)? - (У) (у) -
- J4a (у) tabdcb (у) cd (у) } dy Д d& dc dc, (6.43)
Jt
из которого легко получить обобщенное тождество Уорда • (6.14).
Дифференцируя равенство (6.43) по т| и полагая fj, г| = 0, имеем
О = ^ ехр | i ^ [S3 + - -^диАЦ (у) +
+ § ^ (У) 4 (2) [Vx (г)]ь dz }П ds4-dcdc. (6.44)
Выполнив с помощью формулы (6.17) интегрирование по с, с, получаем в
точности тождество (6.14). Совершенно аналогично можно получить
обобщенные тождества Уорда для случая, когда поле Янга - Миллса
взаимодействует с полями материи.
До сих пор мы рассматривали лишь ковариантные а-калибровки, с которыми
обычно приходится иметь дело в практических вычислениях. Однако все
рассуждения автоматически переносятся и на более общий случай, когда
фиксирующий калибровку член имеет следующий вид
В (А) = ехр | - j ^ Ф2 (s&, х) dx |, (6.45)
где Ф(^) - некоторый функционал от s?(x), который в принципе может
содержать, помимо линейных по S& членов, члены более высокого порядка. В
этом случае, в соответствии с общей процедурой квантования, описанной в
третьей главе, оператор М, фигурирующий в производящем функционале, для
функций Грина, определяется формулой (1.1.26)
Мфа=S v"a {у) йу- (6-46)
174 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
Чтобы получить обобщенные тождества Уорда для этого случая, достаточно во
всех выкладках, приведенных в начале этого параграфа, заменить
М -> Мф. (6'47>
В результате получим вместо (6.14)
^ ехр | i ^ | 5л Jjrj- Ф2 (¦s0 "Ь dx | det Мф X
X { Фа (А, у) + \ 4 (*) (%Мф1)Ьа (г, у, A) dz } Д dsl = 0.
(6.48)
§ 7. Структура перенормированного действия
Проанализируем структуру примитивно расходящихся диаграмм в теории Янга -
Миллса. Начнем с поля Янга - Миллса в пустоте. В а-калибровке эффективный
лагранжиан имеет вид
S = Тtr { ТI № ~ + 8 ^v)f ~
- (f {п) д^)2+ с DC - g-cdnl^u, с]}. (7.1)
Диаграммная техника включает следующие элементы:
a) Векторные линии линии фиктивных с-час-
тиц сс. Этим линиям соответствуют свободные функции Грина Dp.y(p) и D(p)
с асимптотиками при р->оо,
р-2.
b) Вершины с тремя выходящими векторными линиями и одной производной.
c) Вершины с четырьмя векторными линиями без производных.
d) Вершины с одной векторной и двумя фиктивными линиями и одной
производной.
В соответствии с общей формулой, выведенной в § 2, индекс диаграммы,
содержащей п3 тройных векторных
§ 7. СТРУКТУРА ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО ДЕЙСТВИЯ ]75
вершин, п4 четверных вершин, пс вершин с участием фиктивных частиц, Li"
