Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
kr
Совершенно аналогично доказывается конечность всех остальных функций
Грина. Подчеркнем, что сейчас речь идет о функциях Грина вне массовой
поверхности. На массовой поверхности расходимости отсутствуют в любых
калибровках, в том числе и не явно перенормируемых (т. е. таких
калибровках, для которых продольная часть функции Грина векторного поля
при больших k ведет себя как k2n, п~> -1).
В перенормируемых калибровках конечное число инвариантных контрчленов
обеспечивает существование функций Грина и вне массовой поверхности. При
этом конкретные значения контрчленов, разумеется, зависят от выбора
калибровки. В частности, в калибровке общего вида константа z\ уже не
является конечной.
§ 9. АНОМАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА
201
§ 9. Аномальные тождества Уорда
При построении унитарной перенормированной S-матрицы мы пользовались
инвариантной промежуточной регуляризацией. Существование инвариантного
регуляризованного действия позволило нам получить обобщенные тождества
Уорда и с их помощью доказать физическую эквивалентность унитарной и
лоренцевой калибровок. Вообще говоря, использование инвариантной
промежуточной регуляризации не является обязательным. В принципе мы могли
бы ввести произвольную промежуточную регуляризацию и попытаться подобрать
контрчлены таким образом, чтобы перенормированные функции Грина
удовлетворяли обобщенным тождествам Уорда. При неинвариантной
регуляризации для этого могут понадобиться неинвариантные контрчлены,
типа перенормировки массы фотона в электродинамике.
В этом случае в регуляризованной теории принцип относительности не
выполняется, и вопрос о его справедливости в пределе снятой промежуточной
регуляризации нуждается в специальном исследовании. Может оказаться, что
ни при каком выборе локальных контрчленов перенормированные функции Грина
не удовлетворяют обобщенным тождествам Уорда. Это приводит к
неэквивалентности различных калибровок и несамо-согласованности теории. В
этом случае не существует (по крайней мере в рамках теории возмущений)
унитарная перенормированная S-матрица.
На практике указанная ситуация возникает в тех случаях, когда в
калибровочных преобразованиях полей фермионов участвует матрица ys. В
этом случае оба описанных выше метода инвариантной регуляризации
неприменимы. В рамках размерной регуляризации не удается дать
непротиворечивого определения матрицы У5 для пространства с произвольным
числом измерений. Регуляризация с помощью высших ковариантных производных
по-прежнему обеспечивает конечность всех многопетлевых диаграмм, однако
инвариантная регуляризация однопетлевых диаграмм с помощью процедуры
Паули - Вилларса в этом случае невозможна, поскольку массовые члены для
фермионных полей р/ф/ф/ нару-
202 гл- IV- ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
шают -^-инвариантность. Таким образом, для однопетлевых диаграмм не
существует у5-инвариантной регуляризации, и, как мы видим, для целого
ряда калибровочных групп, включающих у5-преобразования, функции Грина не
удовлетворяют обобщенным тождествам Уорда.
В качестве простейшего примера рассмотрим модель с ?7(1)-калибровочной
группой, описываемую лагранжианом
Ys - - ?YoYiY2Y3-
Этот лагранжиан инвариантен относительно абелевых калибровочных
преобразований
Ац (х) -> А^{х) с\Х{х),
и на первый взгляд все рассуждения относительно эквивалентности различных
калибровок в равной мере относятся и к нему. В а-калибровке эффективный
лагранжиан имеет вид
где S - калибровочно-инвариантное выражение (9.1). Лагранжиан (9.3)
невырожден, и описывает наряду с поперечно поляризованными квантами
векторного поля скалярные кванты со спином нуль.
Можно было бы принять лагранжиан (9.3) за исходный и построить на его
основе квантовую теорию. Хорошо известно, что такая теория физически
несостоятельна: вероятность событий с участием скалярных квантов может
принимать отрицательные значения. Если, однако, функции Грина,
порождаемые лагранжианом (9.3), удовлетворяют тождествам Уорда
& = - -4 (<Мв - <5рА)2 + гфуДдц - ??АцУ5)Ф, (9.1)
ф(х)->егет5Мх,ф(х);
^(x)->q(x)eigyslix\
(9.2)
(9.3)
-ZdJ". (х) + igr\ (x) Ys + г'? УвЛ (*) } = °- (9-4)
§ 9. АНОМАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА
203
где Z - производящий функционал вида
Z = N~l ^ ехр | ^ [5?э + + т)ф -+- фг]] dx j dA dty,
(9.5)
то, как легко показать, матричные элементы перехода между состояниями,
содержащими поперечно поляризованные кванты, и состояниями, содержащими
скалярные кванты, равна нулю. Это значит, что 5-матрица, связывающая
"физические", поперечно поляризованные состояния, унитарна. (Строго
говоря, в рассматриваемой модели S-матрица не существует из-за
инфракрасных расходимостей. Можно показать, однако, что все рассуждения
переносятся и на случай, когда векторное поле имеет не нулевую массу и
инфракрасные расходимости отсутствуют.)
Тождество (9.4) формально следует из инвариантности лагранжиана (9.1)
относительно преобразований (9.2). Его частным случаем является
соотношение 6п in Z
