Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Постоянные г2ф и г2ф будем выбирать из условия конечности двухточечных
функций Грина спинор-ных и скалярных полей.
Если выполнено условие (7.34), то функции Грина, порождаемые лагранжианом
(7.33), удовлетворяют обобщенным тождествам Уорда (6.26), с очевидной
заменой g^-g. Доказательство конечности функций Грина дословно повторяет
рассуждения, проведенные выше.
Единственное отличие состоит в том, что функционал F, стоящий в правой
части (7.20), содержит дополнительные члены
где ... обозначает аналогичные члены для спинорных полей. Соответствующие
диаграммы изображены на рис. 14. Конечность этих диаграмм доказывается
точно так же, как и конечность диаграмм на рис. 12.
Все остальные рассуждения полностью идентичны аналогичным рассуждениям
для поля Янга - Миллса в пустоте.
t
Рис. 14.
г I i r^da "l
^^Ь(г/)(Г^С[Т 6^Ш^+ •••' <7'35)
190 гл. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
Таким образом, для устранения всех ультрафиолетовых расходимостей и в
этом случае достаточно калибровочно-инвариантных контрчленов.
Никаких принципиально новых моментов не возникает и в теории со спонтанно
нарушенной симметрией. Описанная выше схема доказательства перенормируе-
мости остается неизменной.
Рассмотрим, например, модель (1.3.25). Наиболее общий вид допустимого
перенормированного лагранжиана можно получить следующим образом. В
соответствии с описанной выше процедурой в лагранжиан
(1.3.25) вводятся допустимые контрчлены
s' = г2Ф | (Дф+ - т л?ф+) f -
- ztf (ф+ф - ц2 + 6ц2)2 + (7.36)
Константы z2q>, 2нр удовлетворяют условиям (7.34). Переходя к сдвинутым
полям Ва, сг, определяемым формулой (6.31), получаем
&R = ^г~ mUl + Zi(fmlA^dilBa + { г^Вад^ +
,1 д Л 2 & я 2 / о2 I 2\ I
+ - гафдцогдцог - - о2 2 о~ И' (В2 + о2) +
2. 2 т у о
- ^ 4 Vo + о," | л; (од"8" - ВЧо - в""вЧв') +
+[т* <+т <"!+вг> АИ-
о 2 2
2&*Пг> п л ZR ГЛс,
- о (о2 + В ) - -?-#¦ (о2 + В2)2. (7.37)
4m j 32m j
Перенормированный лагранжиан Янга - Миллса (7.13), включающий также
взаимодействие с фиктивными частицами, остается неизменным, и мы его не
выписываем.
При переходе к формуле (7.37) мы сделали сдвиг полей ф на величину,
равную вакуумному среднему поля Ф без учета радиационных поправок.
Поэтому в лагранжиане (7.37) присутствуют контрчлены, линейные по полю о,
компенсирующие расходимости в диаграммах типа "головастиков" (рис. 15), а
также контрчлен пере-
§ 7. СТРУКТУРА ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО ДЕЙСТВИЯ 191
нормировки массы голдстоуновских полей Ва. Эти контрчлены необходимы для
того, чтобы обеспечить устойчивость основного состояния при учете
радиационных поправок.
Лагранжиан (7.36) инвариантен относительно калибровочных преобразований
(6.32) с заменой
т,
'1 ' ""-р б ' 6> б 2 Ч 12 ""1
Обобщенные тождества Уорда модифицируются так же как и в симметричном
случае
-Р (?) да I - I = \ (?>0 (X - у)д*П (У) dy) ZR
+
[J = S (X - У) дЛ (у) dy) Zt
(У) Zige
+ ){")"(!
i 6 /'(y)
+ ^fbb%{y)-
6
. bbd JL.
i ЬЪв(У)
тг Ьы I I X
]}
61% (у) 1 2 / Ala(y)
XGf (J, lB, la, y, x)dy (7.39)
(напомним, что в рассматриваемых калибровках константа Z\ конечна).
Доказательство перенормируемости практически дословно повторяет
соответствующие рассуждения для симметричного случая. Единственное
техническое усложнение состоит в том, что из-за смешивания полей Л?, Ва в
калибровке общего вида двухточечные функции Грина представляют собой
матрицы (2X2).
Последнее замечание касается нормировки двухточечных функций Грина.
Поскольку в данном случае мы имеем дело с массивными частицами, вычитания
можно делать на массовой поверхности. Поэтому мы будем считать, что
контрчлены выбраны так, чтобы полюсы пелной двухточечной функции Грина о-
частиц и ¦поперечной части функции Грина поля Янга - Миллса совпадали с
полюсами соответствующих свободных функций. При этом, однако, мы, вообще
говоря, не можем
Рис. 15. Диаграммы типа "головастиков" в теории Янга - Миллса со
спонтанно нарушенной симметрией.
192 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
одновременно обеспечить равенства единице вычетов в соответствующих
полюсах. Как видно из формулы (7.3), контрчлены перенормировки масс и
волновых функций не являются независимыми. Задав положение полюса функции
Грина, мы уже не можем произвольно распоряжаться значением вычета в этом
полюсе. Поэтому, чтобы обеспечить правильную нормировку одночастичных
состояний, необходимо сделать еще дополнительную конечную перенормировку.
§ 8. Перенормированная S-матрица
Мы показали, что процедуру перенормировки можно осуществить, не нарушив
калибровочной инвариантности теории. Докажем теперь, что
перенормированная теория удовлетворяет принципу относительности, т. е.
вероятности физических процессов не зависят от конкретного выбора
калибровочного условия. Тем самым будет доказана унитарность
перенормированной 5-матрицы.
В этом параграфе мы будем рассматривать модели со спонтанно нарушенной
симметрией, в которых все физические частицы имеют ненулевые массы.
