Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
для нормального символа записывается в явно релятивистском виде
Snorm (i. i; b*> ь" с*, с) = ехр {i j) I (х) Sc {х - у) I (у) dx dy + + i
^ (I M 'to W + Фо WIW) dx |, (4.52)
i де
Sc (x - у) = у ^ eik(-x~y)e~ik^x'~v^ (u;(ft) 0 v* (ft) +
+ u{ (ft) 0 u* (ft)) d3k =
= - (yt)4 ^ (yAi - m + е~1к(х~у)Л^к. (4.53)
- причинная функция Грина уравнения Дирака и
ф° м=(^гГ S (b* <*> ui weikx + wc/ L0=ra d4
° (4.54)
- решение свободного уравнения Дирака
O'YiAi - т) Sc (х) = 6 (х), (ДцгД - т) ф0 = 0. (4.55)
Для перехода от первого представления для Sc ко второму опять
используются свойства спиноров И;, v,. Первое представление делает
очевидным, в каком смысле функция Грина Sc является причинной:
Ф1 (х) =\sc(x -у) ? (у) d*y (4.56)
§ 4. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФЕРМИ-ПОЛЯМ
65
не имеет сходящейся или расходящейся волны при ^-оо и t -> оо,
соответственно.
Формула (4.52) может быть положена в основу вывода разложения теории
возмущений для 5 матрицы спинорного поля, взаимодействующего с самим
собой или с другими полями. Для этого заметим, что
= ф (х) ехр | i \ (I-ф + ф>?) dx [,
ГГ 1 (4-57)
(тбЩ-)дехр{м^ + ^)^} =
= ехр | i ^ (I'vf) + ф|) dx | ф (х),
где определение правой производной естественным образом модифицирует
определение левой. Эти формулы вместе с (4.52) позволяют сводить
континуальный интеграл для 5-матрицы с произвольным взаимодействием полей
ф, ф, Ф к интегралу для 5-матрицы с внешним источником. Функции Грина
спинорного поля и формулы приведения получаются естественной модификацией
формулы для скалярного поля. Мы закончим обсуждение, приведя выражение
для производящего функционала для функций Грина взаимодействующих
спинорного и скалярного полей с лагранжианом:
SB (х) = ф (*) гуцдцф {х) - тф (х) ф (х) + ~ <?"ф (х) <Дф (х) -
- у т2ф2 (х) - g-ф (х) ф (х) ф (х), (4.58)
содержащим простейший вариант взаимодействия; этот функционал дается
выражением
Z (г^, |, |) = ехр { - ig\ - (-J^----------^ dx \ X
s J /VsiW б|(Д бт)(д;
X ехр { г ^ (I W sc (Х~У)1 (У) + Y11 М D (* - у) ц (у)) dx dy}
(4.59)
66
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
и может быть записан в виде континуального интеграла
z(ть1,а=
= -jj- ^ ехр { i ^ {SE (х) + т)ф + + Ф6) dx j Д <*ф Л|з dcp,
(4.60)
где интегрирование ведется по полям ф(х), ф(х), ф (х), не имеющим
асимптотически при t -> - оо, / -> оо сходящихся и расходящихся волн
соответственно.
§ 5. Свойства континуального интеграла в теории возмущений
Как мы уже говорили, на сегодня не существует определения континуального
интеграла во внутренних терминах. Однако для нужд теории возмущений в
квантовой теории поля достаточно уметь работать лишь с континуальными
интегралами специального вида - гауссовыми интегралами. Для таких
интегралов можно развить технику вычисления и преобразований, которая в
компактной и наглядной форме содержит всю комбинаторику диаграммной
теории возмущений.
Получим эти правила для случая скалярного поля, на примере производящего
функционала для функций Грина. Для этого функционала у нас есть два
эквивалентных представления: в виде континуального интеграла (3.61) и
явная формула (3.27). Примем в качестве определения гауссова
континуального интеграла формулу (3.27). Более точно, положим
^ ехр | i ^ у ф (х) К (х - у) ф (у) dxdy + i^cp (х) ц (х) dx j X X ф (*i)
• • • Ф (хп) П d(f М = щДДГ • • •
• • • 6л (Хп) ехр { - Т Sц ^ (х ~~ ^11 ^ dx dy} • ^ ^
По определению, интегрирование по сйр перестановочно с интегрированием по
dx и дифференцированием по
§ 5. СВОЙСТВА КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА
67
внешним источникам т](х). Предполагается, что оператор К с ядром К{х - у)
имеет обратный К~х с ядром К-Цх-у):
^ К (х - z) К-1 (г - у) dz =
= J К~{ (х - z) K{z - у) dz - b(x - у). (5.2)
Мы будем считать, что ядро К~х (х - у) достаточно гладкая функция.
Функция Dc(x- у), которая фигурирует в производящем функционале Z(x\),
разумеется, этим свойством не обладает, что приводит при его вычислении
по теории возмущений к появлению ультрафиолетовых расходимостей. Эти
расходимости устраняются процедурой перенормировки, которая будет
обсуждаться в главе IV. Первый этап этой процедуры состоит во введении
промежуточной регуляризации, заменяющей функцию Dc(x - у) гладкой
функцией. Таким образом, рассуждения, которые будут приведены ниже,
относятся к регуляризованной теории возмущений.
Класс функций ср(х), по которым ведется интегрирование, должен
обеспечивать однозначное определение оператора, обратного к К. Если К =
?, таким условием является уже много раз упомянутое условие причинности:
ф асимптотически при |/| -> с" ведет себя как решение свободного
уравнения, не имеющее сходящейся волны при t -> - оо и расходящейся волны
при t -> оо. Оператор К~х в этом случае является интегральным с ядром Dc
(точнее, как только что говорилось, его регуляризацией). Подынтегральное
выражение в формуле (5.1) при г] = 0 будем называть гауссовым
функционалом.
Перейдем теперь к обсуждению свойств континуального интеграла,
