Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
где индекс L означает, что при дифференцировании по a*t мы должны в
функции f(a*) пронести переменную а* налево, прежде чем ее опустить.
Введенные операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям
а'ак + ака*1 = ^к> аК + аК^0' aiak + akai = ° (4-3°)
и сопряжены друг другу относительно скалярного произведения
(/., h) = \ (fi (a*))* h (а*) е-2 Д da* da. (4.31) Здесь операция *
вводится по формуле
(Ca'ii...aiy = C*atr...ali; (4.32)
интегрирование вводится так же, как и выше.
Интеграл от произвольной функции f(a*,a) равен
\f(a*, a)][da,da = fl " "......." (4.33)
где ....1 - коэффициент при одночлене а, ...
.. .апа*п ... а1 в разложении f по образующим. Гауссов интеграл
\ ехр {a*Aikak + a*b. + 6*аг} Ц da* da. (4.34)
i
вычисляется сдвигом, как и в случае одной степени свободы, и равен
ехр {- Ь* (Л"% Ьк} ^ ехр {a*Alkak) Ц da* dar (4.35)
i
Оставшийся интеграл в силу формулы (4.33) равен det Л (-1)".
§ 4. континуальный ИНТЕГРАЛ ПО ФЕРМИ-ПОЛЯМ
61
Заметим, что экспоненту в ответе можно получить, подставляя в
подынтегральную функцию решение уравнений
("?0 (аИ"а* + а!6< + ад = °;
/Л (4-36>
{-?: )LWAibak + a?i + b>d=0-
Это свойство является общим для гауссовых интегралов, как по обычным
коммутирующим, так и по антикоммутирующим переменным. Мы неоднократно
будем им пользоваться в дальнейшем. Одночлены
^..... ir = a\ ••• "; (h<h< ••• <К) (4-37)
ортонормированы и образуют базис в пространстве состояний.
Так же, как и в случае одной степени свободы, произвольный оператор А
может быть задан нормальным символом К {а*, а) или ядром А (а*, а). Если
оператор А дается выражением
A=Z ? К{ t , а* ... а* а, ... а,, (4.38)
r~t ix< ТА. <if i " г I ;i "• >t h lr h >t
TO
К (a*, a) = ? ? K, i j г , a* ... a* a. ... a.
h< ••• <h (4.39)
и
A{a*, a) =
•••V/, ••• v (4-40)
/.'< ••• <h
где
Aix... iT | !x... it = ('Ф/,... i\ A I Ф/,... /)¦ (4-41)
Между ядром и нормальным символом имеет место соот-
ношение
А (а\ а) = е2 а*а'К (а*, а). (4.42)
62
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Действие оператора на функцию и произведение операторов задается
формулами
(Af) (а*) = J А (а*, а) / (a*) Д da* da, (4.43)
(ЛИ2) (а*, а) = J Л! (а*, а) Л2 (а*, а) е~2 Д da* da. (4.44)
Если сравнить полученные формулы с формулами (2.11),
(2.14), выведенными в § 2 для бозе-системы, то нетрудно заметить, что они
имеют один и тот же вид. Если проследить вывод представления для ядра
оператора эволюции через континуальный интеграл, то можно убедиться, что
весь он основан на двух формулах (2.17) и
(2.14). В случае фермионов мы имеем абсолютно идентичные формулы (4.42),
(4.44). Поэтому можно сразу написать представление для ядра оператора
эволюции ферми-системы с гамильтонианом h(a*,a\t) в виде
?/(а*, а; t", t') =
= Sехр | т Z К (*")(*") + (О afe (О) +
t"
+1S гit z (°*d*~ -л ^a dt nda*da'
t' \- к J t, к
(4.45)
где считается, что
а1 (И = а1' ак (О = ar (4.46)
Подчеркнем, что здесь мы имеем дело с интегралом по бесконечномерной
алгебре Грассмана, с независимыми образующими а*к (t), au{t), k = 1, ...,
п для каждого t".
Перейдем теперь к теории поля. Комплексное спинор-ное поле можно
рассматривать как систему фермионов с бесконечным числом степеней
свободы. Образующими алгебры Грассмана являются в этом случае
антикоммутирующие функции ф(дс), ф(*)> или линейно с ними свя-
§ 4. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФЕРМИ-ПОЛЯМ
63
занные функции bi(k), b*(k), с* (ft), ct{k), /=1,2:
^ М = ( 2Тг) * S (e~ik*ui (*) b* (ft) -f eikxvi (ft) ct (ft)) d3k,
(4.47)
Ф* (X) = (±yh 5 (ft) ft, (ft) + (ft) Ct (ft)) d%
где н,-(ft), и,-(ft) две пары линейно независимых решения уравнения
Дирака
(vA-'")"i(*)ib.VjrSn- = o;.......................
(vA-m)"<(*) lt|._VPTSr = 0i ' l2- -48)
В терминах образующих Ь, Ь*, с, с* задается обычным образом нормальное
произведение, т. е. в записи произвольных операторов через ядро А (Ь*,
с*; Ь,с) или нормальный символ К(Ь*,с*\ Ь, с) образующие Ь*, с* стоят
слева от Ь, с.
Рассмотрим систему ферми-полей, взаимодействующих с внешним источником, в
качестве которого возьмем антикоммутирующие спинорные функции |(дс),
|(дс). Га-" мильтониан такой системы имеет вид
h = jj (/ф (дс) у АФ (*) + шф (х) ф (дс) + ф (дс) I (х) +
+ I (х) ф (дс)) d3x = ij [л/ft2 + т2 (Ъ* (ft) bt (ft) + с* (ft) ct (ft))
+ + у* (ft, t) bt + b*yt (ft, t) + 6! (ft, t) ct (ft) + < (ft) 6. (k, /)]
d3k.
(4.49)
Здесь при переходе к импульсному представлению использованы свойства
ортонормированности спиноров щ и Vi, i - 1,2. При этом
Y, (*, t) = м*1 (ft, t); 6t(k,t) = v%{k,t),
f 1 V7, С (4l50)
I (ft, 0 = ("2Я") \l{x,t)elbx d?x.
64
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
5-матрица в виде континуального интеграла дается формулой
S (b*, с*; Ь, с) = Jim ^ еур j j ^ d3k (b* (ft, t") bt (ft, t") +
t' -oo
+ &;<*, f)bt(k, n + (b^c) +
t"
+ / ^ dt\^d3k jj- (b] (ft, t) bt (ft, t) - b* (ft, t) bt (ft, t) +
t'
+ (ftw))_A(6*f 6,c*>c)]}, (4.51)
который является гауссовым и вычисляется совершенно аналогично
соответствующему интегралу (3.6), (3.15) для скалярного поля. Выражение
