Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Славнов А.А. -> "Введение в квантовую теорию калибровочных полей " -> 12

Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.

Славнов А.А., Фадеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей — М.: Наука, 1978. — 238 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievkvantovuuteoriu1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 67 >> Следующая

В случае гармонического осциллятора интеграл
(2.27) легко вычисляется, так как подынтегральная функция
представляет собой экспоненту от неоднородной квадратичной формы. Такие
интегралы мы будем называть гауссовыми. Мы воспользуемся известным
свойством гауссова интеграла, согласно которому он равен подынтегральному
выражению, вычисленному в точке экстремума показателя экспоненты. Условие
экстремума в нашем случае совпадает с классическим уравнением движения
а* - та* = 0; а + та = 0; а* (/") - а*; а {(') - а,
(2.29)
гак как
¦trr
6 (a* {t") а (I") + ^ (- а*а - т a*a) dt) =
t'
t"
= \ (6а (а* -- та*) - 6а* (а + коа)) dt (2.30)
t'
при 6а*|г = 0; 6а|г, = 0.
Уравнения (2.29) тривиально решаются
а (/) = егю(Г-%; а*(/) = е"0(<-*")а*. (2.31)
Обозначая соответствующий оператор эволюции через U0, получаем
U0{a*, а; t" - t') = ехр {а*а <*'-*">}. (2.32)
Если f (а*) - произвольная функция, то
U0 (t) / (а) = ^ ехр {а* а е~ш} f (а*) е~а*а -}{а*е~~ш).
(2.33)
42
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Эта формула наглядно демонстрирует удобство голоморфного представления
для гармонического осциллятора. В этом представлении эволюция
произвольного состояния сводится к замене аргумента
Это свойство очень полезно для теории поля, поскольку свободный
гамильтониан в этом случае представляет собой сумму гамильтонианов
бесконечного набора осцилляторов.
§ 3. Производящий функционал для S-матрицы в теории поля
Голоморфное представление для теории поля вводится через комплексные
амплитуды a*(k), a(k). Канонические переменные ф(х) и л(дс) выражаются
через них следующим образом:
При квантовании амплитуды a* (k), a(k) приобретают смысл операторов
рождения и уничтожения.
Свободный гамильтониан Н0 выражается через а*, а следующим образом:
и представляет собой сумму энергий бесконечного набора осцилляторов.
Аргумент k играет роль номера осциллятора, а со(й)-его частоты. Полный
гамильтониан Н помимо члена Н0 содержит взаимодействие V(a*,a),
которое получается при подстановке в ^ V (qp) d3x функции ф(дс) в виде
(3.1). Оператор эволюции U(t",t') оп-
а*-+а*е-ш
(2.34)
Hq = ^ со (k) а (к) а (к) d3k
(3.2)
§ 3. ПРОИЗВОДЯЩИЙ ФУНКЦИОНАЛ ДЛЯ S-МАТРИЦЫ 43
ределяется ядром U(a*(k), a(k), t" - t'), которое выражается через
континуальный интеграл
U (а* (к), а (к), ("-(') =
t"
= ^ ехр | ^ d3ka* {к, t")a(k, t") + ^ [- iV (а*, а) -+-
?
+ ^ d3k (- а* (k, t) а (k, t) - та* {к, t) а (k, t)) j dt j X
x nda4k' lL?{k'0; a* =a* a (*> ^=a w-
t, k
(3.3)
От этой формулы легко перейти к S-матрице. Для этого заметим, что для
произвольного оператора А с ядром A(a*(k), a(k)) оператор
giHtt" Ae-iHat' (3.4)
имеет ядро
A {a*{k)еш", а{к)е~ш'). (3.5)
Это прямое обобщение формулы (2.33) для гармонического осциллятора,
полученной в предыдущем параграфе. Таким образом, ядро S-матрицы
получается пределом при t"-*¦ оо, t' -> оо интеграла (3.3), который мы
для удобства перепишем в симметризованном виде
S(a*(k), а(к)) =
= lim ^ ехр •Ц- \ d3k {а* (к, t") а (к, t") + а* {к, t')a(k, t')) +
-> оо J ^ J
t' -оо
t"
+ dt d3k (jr (а* {к, t)a(k, t) - a* (k, t)a(k, t)) -
?
- со (к) а* (к, t) а (к, о) - V (а*, а)]} Д W*. 0 ,
*, t
(3.6)
44
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
где
a* (k, I") = а (к) ехр {/со (k) ("}, (3.7)
a{k, t') = ci (k) exp {- ico (k) t'}. (3.8)
Применим эту формулу для вычисления 5-матрицы при рассеянии на внешнем
источнике t]{x), когда
V (ф) == - Ц (х) Ф (х). (3.9)
Соответствующий функционал V (а*, а) имеет вид V (а*, а) = J d4 [у (к, /)
а* (*) + у* (к, t) а (*)], (3.10)
где
v№' ''"-уЬгйП41*' <зл1>
Функционал V(a*,a) явно зависит от времени. Тем не менее все формулы для
оператора эволюции остаются в силе и в этом случае. Единственное
изменение состоит в том, что теперь оператор эволюции зависит от обеих
переменных t", t', а не только от их разности. Подынтегральное выражение
в (3.6) в нашем случае опять имеет вид экспоненты от неоднородной
квадратичной формы и гауссов интеграл вычисляется тем же приемом, что и в
предыдущем параграфе. Условия экстремума выглядят следующим образом:
а (k, t) -f m (k) a (k, t) + iy (k, t) = 0, a* (k, i) - /(c) (k) a* (k, t)
- iy (k, t) = 0, (3.12)
a* (k, t") - a* (k) еш", a (ft, i') - a (k) е~ш'.
Решение этих уравнений дается формулой
t"
а* (к, t) - а* (k) еш - 1еш ^ e~imy* (к, s) ds, (3.13)
t
t
a (k, t) = a (k) е~ш - ie~m ^ eiasy (k, s) ds. (3.14)
t'
Подставляя это решение в показатель экспоненты формулы (3.6) и переходя к
пределу, получаем для ядра
§ 3, ПРОИЗВОДЯЩИЙ ФУНКЦИОНАЛ ДЛЯ S-МАТРИЦЫ 45
S-матрицы выражение
S4 (а*, а) = ехр j ^ d3k^a* (k) а (k) +
+ _L_ [ d, J {Xi () +
(2я)^ J ' д/2<a
oo oo
-(ir)4 J di J ox
- 00 -00
Xl](j, /-s| j j. (315)
Выражение для S-матрицы становится более элегантным, если перейти от ядра
к нормальному символу, что сводится к отбрасыванию первого сомножителя
ехр | ^ d3k • а* (k) а (ft) |. Оставшиеся сомножители можно
переписать в явно релятивистски инвариантной форме. Для этого введем
решение свободного уравнения Клейна - Гордона
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed