Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
матрицы. Нужно вычислить вариационные производные
4т^--7"^гЧ_0. <3-32>
т. е. функции Грина Gn(x\, ..., хп), подействовать на эти функции
дифференциальным оператором
П (Ох. + т2), (3.33)
умножить результат на произведение
ТЙ-Цфо(*/). (3-34)
i
проинтегрировать по всем х и просуммировать по п.
Альтернативный формализм для вычисления S-матрицы может быть основан
непосредственно на представлении ее в виде континуального интеграла.
Выражение
(3.6) неудобно для этой цели, так как оно не является
явно релятивистски инвариантным и содержит предель-
ную процедуру. Преобразуем его к явно релятивистскому виду, выполняя
интегрирование по импульсам п(х, t). При этом, однако, нужно аккуратно
учитывать граничные члены. Заметим прежде всего, что функционал действия,
участвующий в формуле (3.6), можно переписать
50
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
в терминах полей ф(ж, t) и я (х, t)
t"
S S [т ~ ^oTt(p^ ~~
г
- Y л* - Т ~Тт2<р2 ~ V dt> (3-35) а мера интегрирования в терминах ф и я
имеет вид
Д da* (fe, t) da (к, Q Д rfqp (x, /) rfn (*, t) ^ ^
A, t X, t
Здесь использована связь между переменными интегрирования a* (k, t), a{k,
t) и n(x, /), ф(ж, /):
Ф(дс, /) =
/ 1 у/. г
= fe) 1 <а* (*• '>+ а <*• о v^' ,3
я (*, /) =
= (2^)'i ^ *>- а (*- *>e?ft") * л/т
которая уже введена при t = 0 в формулах (3.1).
Будем использовать в интеграле (3.6) наряду с переменными ф(дc,t), n(x,t)
также и переменные ф! (л:, г!), jti (jc, t), полученные из первых сдвигом
ф(дс, /) = фо(*, /) -Ь Ф1 (лг, (), я (ж, /) = д0ср(х, /) + л,(х, /).
^3'38^
Здесь ф0(ж, t) = фо(х) строится по формуле (3.16) через функции a*(k) и
a(k), которые участвуют в граничных условиях (3.7), (3.8).
Интегрированием по частям действие (3.35) преобразуется к новым
переменным в следующей форме:
^ dh [доФоФ - ту ЗоФоФо - 4 Пф] |, +
t"
+
\ d*x \ dt[~\ п1 + т(до% до*Р 1 - аАф1 ^Ф,)
- /П2ф'( •
У(ф)]. (3.39)
§ 3. ПРОИЗВОДЯЩИЙ ФУНКЦИОНАЛ ДЛЯ S-МАТРИЦЫ 51
Мы видим, в частности, что во втором слагаемом переменные ф и п\
полностью разделились.
Используя (3.37), определение (3.16) функции фо(х) и граничные условия
(3.7), (3.8), мы можем переписать внеинтегральные члены в (3.39)
следующим образом:
i d3x [доФоФ - у доФоФо - у Яф] | =
= J d3k [a* (ft) а (ft) - у (а* (ft, t") a (ft, t") +
-fa* (ft, t')a(k, t')) - (a(k, t") - a (ft) е~ш")2 -
-(a*(ft, 0-a*(ft)e'^')2]. (3.40)
Закончим на этом преобразование подынтегрального выражения в (3.6) и
перейдем к обсуждению предела
t"
t" оо, - оо. В интеграле ^ dt ^ d3xri\ мы можем
V
перейти к пределу, если ni (х, t) убывает при больших t так, что
7(0= ^ л2 (ж, i)d3x (3.41)
является интегрируемой функцией t при |^| оо. В даль-
нейшем функции, подобные л\ (ж, t), будем называть быстро убывающими.
Функции m(x,t), для которых
-f оо
^ I (t) dt = оо, не дают вклада в 5-матрицу, если дого-
- оо
вориться, что ехр {i оо} = 0.
Граничные условия (3.7), (3.8) определяют асимптотическое поведение
переменных a*(k,t) при t-> оо и a(ft, t) при t->-оо:
a* (ft, t) = a* (ft) + < out (ft, 0, / ¦- oo, 4
a (ft, t) = a(k)e-la>t + in (ft, /), t-+ - oo,
где a* out (ft, t) и a, in (ft, /) - быстро убывающие функции при t-* оо
и 7-"-оо соответственно.
Из (3.42) следует, что разности
д0 a* (ft, /) - гсоа* (ft, /} и dQa (ft, /) -f гсоа (ft, /) (3.43)
52
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
быстро убывают при f + оо, t -*¦ - 00 соответственно. Тогда, как видно из
(3.37), разность я - <30ф = лч будет быстро убывать при |1| -> оо только,
если
дф (ft, t) + tm (ft) a (ft, t) = at (ft, t),
d0a* (ft, t) - ia> (ft) a* (ft, t) = a* (ft, t), (^.44)
где G] (ft, /) и a'(k,t) быстро убывают при /->oо и t -> - 00.
Соотношение (3.44) вместе с (3.41) означает, что переменные
интегрирования <р(ж, t) при |^|->оо имеют асимптотики
Ф(дс, 0 = Ф0>1п (х, 0 + Фи in (х, /), /-> + 00, (3.45)
out out
где ф], in (х, t) быстро убывают при t -> - 00, срь 0ut(*, t) быстро
убывают при t->oo, и ф0 in (х, t) являются ре-
out
шениями свободного уравнения движения
?Фо.ы +m4,in =°> (3.46)
out out
заданными формулами Фо, in М =
out
<3-47>
где
aln (ft) = a (ft), a*ut (ft) = a* (ft). (3.48)
На функции aout(ft) и Gjn(fc) никаких условий не накладывается.
При описанном асимптотическом поведении переменных интегрирования два
последних слагаемых в правой части (3.40) исчезают в пределе t" ->-00, i'
-> - 00. Действительно, имеем, например,
J d?k (a* (ft, t') - a* (ft) etoi')2 = J d4 [(a*n (ft) - g* (ft))2 е2Ш' +
+ 2 (a;n (ft) - a* (ft)) e'-rf'a, (ft, t') + a2 (ft, /')]¦ (3.49)
Последние два слагаемых здесь исчезают при t' -> - 00 в силу быстрого
убывания a.\(k,t), а первое исчезает по лемме Римана - Лебега из-за
осцилляций ехр {2/оз//}.
§ 3, ПРОИЗВОДЯЩИЙ ФУНКЦИОНАЛ ДЛЯ S-МАТРИЦЫ
53
лг1
Соберем теперь вклад неисчезающих выражений в 5-матрицу. Заметим, что
второе слагаемое в (3.40) сокращается с граничными членами в (3.6). В
результате для ядра 5-матрицы получаем выражение
5 (а*, а) - ехр j ^ а* (ft) a (ft) d3k j ^ ехр j i J dx я2 +
