Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
определенного формулой (5.1).
Заметим прежде всего, что функционал (5.1), который естественно назвать
преобразованием Фурье от гауссова функционала
F (ф) = ехр | i ^ j ф (х) К{х - у) Ф (у) dx dy j ф fo) ... ф (*"),
(5.3)
68
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
сам является гауссовым функционалом, так как при дифференцировании ехр |^
^K.~^y\dxdy^ мы получаем выражение, в котором эта экспонента множится на
полином.
Мы покажем, что наше определение позволяет доказать для интеграла (5.1)
справедливость простейших преобразований: интегрирования по частям,
замены переменных, а также ввести понятие функциональной 6-функции.
1. Интегрирование по частям. Рассмотрим интеграл
1 = S ['WW ехр {i $ф ^ ^ - у)ф ^dx dy} ] х
X ехр | г ^ ф (х) Т1 (х) dx | Д^ф. (5.4)
X
Функционал
-^-б(г) ехр { у ^ ф (х) К(х - у) ф (у) dx dy} (5.5)
- гауссов, поэтому интеграл (5.4) имеет смысл и по определению равен
1=1 $ [S ^ ^ф ^ dy х
Хехр{^Ф(х) К(х-у) <р(у) dx dy+i ^ ф (х)Т1 (х) с?*} ] Д d<f=
X
= \к{г - у) Z (т)) dy = - щ (2) Z (т]). (5.6)
С другой стороны,
- Щ (z)Z(r)) = - ^ exp{i ^ Ф (*) Я (* - У) Ф (У) dxdy^X
Xехр { i J <р (*) ч (*)<&} Д <*ф. (5.7)
X
Сравнивая (5.4) и (5.6), видим, что имеет место формула интегрирования по
частям, причем граничные члены отбрасываются. Этот результат очевидным
образом обобщается на произвольный гауссов интеграл, поскольку любой
такой интеграл представим в виде производной от I по Т],
§ 5. СВОЙСТВА КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА
69
2. Повтор ные интегралы. Поскольку интеграл от гауссова функционала
сам является гауссовым функционалом, можно определить повторный интеграл.
Докажем, что
^ ехР I i Е ^ Ф?Фyj + Е П йф' ' • • d((n =
1 i, /=1 / = 1 ' х
= ехр|-у Е (Ка1)*"(5-8)
*¦ г, 1 = 1 '
(здесь мы используем сокращенные обозначения, подразумевая что по
повторяющимся непрерывным индексам х, у проводится интегрирование).
Пусть равенство (5.8) справедливо для некоторого п. Докажем, что тогда
оно верно и для номера п1. По предположению,
/"+' == ^ ехр | г Е W+ *?"+!Фп+ОХ
I, /=1
(k~'Yz
п 'Ц Л"2 I vzu I
2 bl + КШ+1Ф"+J +
+ У <+! "+,Ф* + 1<Р" + 1 + *'<+1Ф* + 1 } П d(P"+l- М
л:
Выполняя интегрирование по ф"+ь получим Гп+х = ехр | - ^{цхп+х - Е t KZ+x
Л/*) X
xUZn\xn+X- E К?п+х{К;Х)7тК(tm)"А 1 X
\ t, m=\ J
x(<+
4 г, /=i ' i, i=x '
(5.10)
Воспользовавшись тем, что
OrX^det К~ТЩ, (5.11)
70
ГЛ. И. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
где через Яц обозначена адъюнкта элемента Кц матрицы К, второй
сомножитель в показателе экспоненты можно представить в виде
(det Кп)гх [(det Кп)ху КГ+х "+i - (KtUxKff Kil+i] =
== (det Kn)zx (det Kn+x)XU- (5.12) Рассмотрим отдельные члены в формуле
(5.10):
<+,<+1 (det к,)"01 'С.Г=4^+1 ОСО(tm),
?ч:+,ИА"-;,)*чг"+,ед=
-= <+, И С,Г*Г+, У=ОС)". Уг (5-13)
Аналогичным образом можно показать, что коэффициент при т)гт]/. есть
В итоге получаем
/"+1 = ехР [ - Т Е _ (K*h)u ЧХ J. (5.14)
что и требовалось доказать. Очевидно, что результат не зависит от порядка
интегрирования, так как изменение порядка эквивалентно просто
перестановке столбцов матрицы К. Таким образом, доказано, что повторные
интегралы существуют, и результат не зависит от порядка интегрирования.
3. Определение б-функции
^ ехр |t ^ *iM[$ с (х - у) ф (у) dy - q/ (х)] dx } Д dr] =
X
=^= б ^ф(а) - с~1 (х - у) ф' (у) dy^ . (5.15)
Это равенство означает, что
^ F (ф) [jj ехр { Д ц (*)[jj с {х - у) ф (у) dy - ф' {x)\dx j X
^ П dT1l IId(lp" S [\ /?((р)ехр{1 \ 'I w[$ c(x-y)v(y)-
х Л х
- ф' (х)] dx | Д d(p JJ dr\ = F (с_1ф'), (5.16)
§ 5. СВОЙСТВА КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА
71
где ^(ф) - гауссов функционал (по аналогии с обычным определением б-
функции можно было бы ожидать, что в формуле (5.16) должен присутствовать
еще постоянный, т. е. не зависящий от ср', множитель det с~1. Отсутствие
этого фактора в формуле (5.16) объясняется тем, что наше определение
функционального интеграла (5.1) включает условие нормировки).
Равенство (5.16) проверяется непосредственным вычислением:
^ dxdy]x
X ехр | i jj Т) (х)[^ с(х- у) cp(y)dy-ф'(*)] Дейр Д <*11=
= ехр { у ^ ф' (х) с~1К (х - у) с~У (у) dxdy }. (5.17)
Покажем теперь, что
^ ехр | i jj [fx (ф) - ф' (*)] ц {х) dx | Д dy\ = б (fx (ф) - Ф' (х)),
(5.18)
fx (ф) как функция х принадлежит к тому же классу, что и ф (х). Функция
fx (ф) разложима в формальный ряд вида
fx (ф) = с0 (х) + ф (х) + f (ф),
f (ф) = g ^ С[ у">ф ^ dy + (5.19)
+ g2 jjc2 (х, у, z) ф (у) ф {z)dydz + ...
(для простоты мы считаем, что коэффициент при ф в первой степени равен 1.
Рассмотрение тривиально обобщается на случай с Ф 1с помощью предыдущей
формулы). При этом уравнение
со (х) + Ф {х) + f (ф) - ф' (л:) = 0 (5.20)
имеет единственное решение, представимое в виде формального ряда по g.
72
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Формула (5.18) означает, что ^ [V (ф) ехр | i ^ [fx (ф) - ф' (х)] т| (л:)
dx } X
X det 11 + с/ф"| dy\ = F (ср), (5.21)
X J
где ф(ф') - решение уравнения (5.20); det ^ 1 + .
по определению, есть
det{1+f}MexP{Tr,"[,+!to]} =
=1ехР{\ШL/x + iSdx'"" Vm
