Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Славнов А.А. -> "Введение в квантовую теорию калибровочных полей " -> 20

Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.

Славнов А.А., Фадеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей — М.: Наука, 1978. — 238 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievkvantovuuteoriu1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 67 >> Следующая

(5.22)
Согласно определению
S [S exp { T S ф ^ ^ ~ ^ ф ^ dx dlJ +
+ i\ [f (ф) - ф' (•*)] л W dx } det { 1 + } П ^ф Д d4\ =
= J [eTp{ * J t, (x)f (j-A) dx} det (l + (1A-) } X
X exp | - Y 5 'П w K~l (x - у) 'П (y) dx dy }] X X exp | - i ^ [ф' (x) -
c0 (x)] ц (x) dx } Д dtp (5.23)
X
Значок ->•(-"-) над экспонентой означает, что при представлении
экспоненты в виде ряда все операторы б/бг) нужно поставить справа (слева)
от тр Интегрируя по частям, преобразуем правую часть к виду
^ ехр { - ^ ц (х) К"1 (х - y)f\ (у) dx dy } X
х det { 1 + ^(т^)}е^р{ф(-71^)
X exp | - / ^ [ф' (x) - Co (x)] T) (x) dx} Д dip (5.24)
§ 5. СВОЙСТВА КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА
73
Рассмотрим функционал
В(ф', л) =
X ехр | - i ^ [ф' (х) - Со (х)] ц (х) dx | =
= е*Р { ~ ' S Фоо ^(ф' - с°)йх } X
X det | 1 + -||- (ф' - Со)} ехр j - / ^ [ф' (х)-с0(х)] ц (х) dx}.
(5.25)
B(q>', л) удовлетворяет уравнению
6В/6т] (х) = i [с0 (х) - ф' (х) + f (г ^-)] В (5.26)
с начальным условием
В (ф7, 0) = А (ф') = ехр | ^ 6фб(-л;) f (ф7 - с0) dxjx
X det { 1 +|L((p'_Co)}. 1. (5.27л
Будем искать решение уравнения (5.26) в виде
В (ф7, ц) - А (ф7) ехр | - г ^ ф (ф7) ц (х) dx j . (5.28)
Подставляя (5.28) в (5.26), имеем
Ф (х) = Ф7 (х) - с0 (х) - J (ф). (5.29)
Следовательно, искомый интеграл равен А (ф7) ^ ехр | - у jj ц (х) К~1 (х
- у) ц (у) dx dy } X X ехр | - / ^ ф (х) rj (х) dx j JJ di\ =
Я
= А (ф7) ехр | у ^ ф (х) К (х - у) ф (у) dxdy }. (5.30)
74
ГЛ. И. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Нам осталось лишь показать, что Л(ф') = 1. Формулу (5.27) можно
переписать в виде
А (ф') = det [ехр { - уф-А(--у f (ф' - с0)} X
х{1+?"-*}]•
Хр(ф'-с0){1 +-|г(ф,-Со)}]-1. (5.31)
Рассмотрим п-й член суммы, стоящей в квадратных скобках. Он представляет
собой двучлен, первое слагаемое которого можно представить в виде
п! бф"1 ' (л -1)1 бф'" \ бф' V '
С другой стороны, п-1-й член суммы в квадратных скобках представляет
собой аналогичный двучлен, второе слагаемое которого равно
(- 1)"-1 бп~' / бf
(л - 1)1 бф'
Таким образом, последовательные слагаемые в квадратных скобках взаимно
компенсируются, и все выражение равно единице.
4. Замены переменных. Пусть
/ = \ ехР (у ^ Ф (*) # (х - У) Ф (у) dx dy +
-f i ^ ф (x) ц (x) dx | JJ dq>. (5.34)
X
Заменой переменных
Ф = fx (ф')> fx (ф') = Со (х) + ф' (х) + I (ф')> (5.35)
I приводится к виду
1 = S ехр { Т S ^ ^ К{х - у) !у (ф') dx dy +
+ i\fx (ф') П (х) dx | det [ 1 + } Д dq)'. (5.36)
§ 5. свойства континуального интеграла
75
Чтобы доказать это утверждение, достаточно убедиться в равенстве фурье-
образов (5.34) и (5.36). Фурье-образ
(5.34) есть
ехр | у ^ ф {х) К(х - у) ф (у) dxdy j. (5.37)
Фурье-образ (5.36) равен / (ф) = J / (г|) ехр { - Z J т| (*) ф (х) dx }
fj dr\ =
X
= ехр { j J fxK (х - у) fy dx dy } det { 1 + } X
X 6 (Ф - / (<p0) JJ dtp' = exp ty(x)K(x-y)ty(y)dxdy}.
(5.38)
Утверждение доказано.
Наше рассмотрение показывает, что все те свойства интеграла Фейнмана,
которыми практически приходится пользоваться в теории возмущений,
вытекают непосредственно из определения квазигауссова интеграла и могут
быть строго обоснованы независимо от вопроса о существовании
фейнмановской интегральной меры. Таким образом, в рамках теории
возмущений формализм континуального интеграла является вполне строгим
математическим методом, и полученные с его помощью результаты не
нуждаются в дополнительном обосновании.
Все эти выводы в равной мере относятся и к континуальным интегралам,
содержащим фермиевские пере--менные. В этом случае следует помнить об
антикоммутативности вариационных производных и в формулах замены
переменных соответствующий детерминант писать в знаменателе вместо
числителя. Эта отличительная черта гауссовых интегралов по ферми-
переменным уже обсуждалась выше.
Глава III КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА-МИЛЛСА
§ 1. Лагранжиан поля Янга - Миллса и специфика его квантования
В предыдущей главе мы сформулировали правила квантования при помощи
континуального интеграла на примере скалярного и спинорного полей. На
первый взгляд поле Янга - Миллса можно было бы квантовать аналогичным
образом, рассматривая каждую компоненту этого поля как скалярное поле.
Это, однако, не так. Калибровочная инвариантность вносит специфические
черты в процедуру квантования. Спинорные и скалярные поля, с которыми
взаимодействует поле Янга - Миллса, не влияют на эту специфику. Поэтому в
ближайших трех параграфах мы ограничимся обсуждением поля Янга - Миллса в
пустоте.
Напомним некоторые обозначения, введенные в первой главе. Пусть й -
компактная группа внутренней симметрии, Та (а = 1, ..., п)-ее
ортонормированные генераторы в присоединенном представлении, tabc -
соответствующие структурные константы, и
- поле Янга - Миллса. Калибровочное преобразование задается матрицей
со(х) со значениями в присоединенном представлении группы:
(х) -> S^a (х) = со (х) (х) со-1 (х) + <Эйсо (х)со (х). (1.2)
Калибровочно-инвариантный лагранжиан имеет вид
s^ = AST°
(1.1)
8g2 1г I
(1.3)
где
jiv дуЗФу, <3^.5^ -f- \s4'ц, >s^v].
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed