Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Славнов А.А. -> "Введение в квантовую теорию калибровочных полей " -> 13

Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.

Славнов А.А., Фадеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей — М.: Наука, 1978. — 238 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievkvantovuuteoriu1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 67 >> Следующая

Фо М = (^") \(a*(k)eikx+a(k)e~ikx)^j=^, ft0 = co (3.16) ? фо -f ш2фо = 0
(3.17)
и функцию Грина этого уравнения
d3k
Dc(x) = -(-^ry\e^e^
ica j x* J
2/co
= -(~2я) 5 G~tkX k2-m2 + iO (3,1S)
(?+m2)Dc = 64(x). (3.19)
Первое представление для Dc следует из второго
после интегрирования по ft0.
Во введенных обозначениях нормальный символ
S-матрицы S"(a*,a) дается формулой
S,{а, а) =
= ехр | / ^ ц (х) фо (x)dx + ^\ Т1 М Dc (х ~У)Ч (У) dx dyj.
(3,20)
46
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Обратим внимание на то, что правильный выбор асимптотических условий на
траектории интегрирования автоматически привел к появлению причинной
функции Грина в формуле для S-матрицы.
Перейдем теперь к рассмотрению S-матрицы в случае общего потенциала
Г(ср). В этом случае мы, разумеется, не можем вычислить соответствующий
континуальный интеграл точно и ограничимся построением для него теории
возмущений. Покажем, что в этом случае задача сводится к уже решенной
задаче о рассеянии на внешнем поле. Для этого воспользуемся очевидной
формулой
Ф (а) ... ф (хп) =
отсюда следует, что произвольный функционал Ф(ф) от Ф (л:) можно записать
в виде
Эта формула, разумеется, понимается в смысле теории возмущений.
Тем самым в функциональном интеграле (З.б), определяющем S-матрицу для
потенциала общего вида, мы можем заменить в подынтегральном выражении
ехр | ^ Г (ф) dx j на правую часть (3.23) и
вынести
формальный дифференциальный оператор
за знак континуального интеграла. Остающийся континуальный интеграл в
точности совпадает с уже вычис-
(3.21)
Ф (Ф) = Ф (у ехр {/ J Ф (х) г] (х) dx } |^о. (3.22)
В частности, ехр { - / \ V (ф) dx
= ехр { - / $ V (| -A) dx } ехр { / \ фл dx } . (3.23)
§ 3. ПРОИЗВОДЯЩИЙ ФУНКЦИОНАЛ ДЛЯ S-МАТРИЦЫ 47
ленным интегралом для S-матрицы рассеяния на источнике. В результате мы
получили следующее окончательное выражение для нормального символа S-
матрицы:
S{a*, a) = S((р0) =
- ехр | - i ^ I/ rfjc} ехр | ^ ц (х) ср0 (х) dx +
+ у j) 11 ^ °с (х - У) Л (У) dx dlJ }
. (3.24)
11=0
Здесь мы заменили пару аргументов а*, а одной функцией ф0, поскольку они
друг друга однозначно определяют. Разлагая этот функционал в ряд по ф0,
S (ф0) =
= Л 5J \ Sn • • • *")фо(*1) • • • Фо (хп) dx { dxn (3.25)
получаем коэффициентные функции S"(xi, х"). В операторной формулировке
эти функции возникают при разложении оператора S-матрицы в ряд по
нормальным произведениям свободных полей. Поэтому функционал 5(ф0)
называют иногда производящим функционалом для коэффициентных функций S-
матрицы.
Мы предоставляем читателю убедиться в том, что разложение (3.24) в ряд
теории возмущений порождает обычные диаграммы Фейнмана. Роль пропагатора
играет функция Dc(x - у), вершины задаются потенциалом Р(ф), а внешним
концам отвечают функции ф0. Тем самым формула (3.24) автоматически
учитывает теорему Вика для хронологических произведений.
Если в формуле (3.24) не полагать г) = 0, то полу-
ченный функционал
5(ф0, ц):
= ехр{ - i ^ V (у 6т16(л.)) dx ехр j i ^ л (х) ф0 (х) dx } X X ехр | ~ ^
У] (х) Dc (х - у)ц (у) dx dy j (3.26)
представляет собой нормальный символ S-матрицы для рассеяния
взаимодействующих частиц в присутствии
48
ГЛ. И. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
внешнего источника ri(x). На практике часто удобнее работать не с 5-
матрицей (3.24), а с функционалом
который совпадает с 5(tp0, л) при фо = 0 и имеет смысл амплитуды перехода
из вакуума в вакуум в присутствии внешнего источника. Коэффициентные
функции С"(-*ч ••• ... х") в разложении этого функционала в ряд по r](x)
определяют так называемые функции Грина, которым в операторном формализме
соответствуют вакуумные средние от хронологических произведений
гейзенберго-вых операторов поля. Функции Грина необходимы, в частности,
для проведения программы перенормировки, о которой будет идти речь в
следующих главах, и которую до сих пор не удалось провести
непосредственно для 5-матрицы.
Функционал Z(r]) содержит в себе больше информации, чем 5(ф0), поскольку
он определен для произвольных функций ц, в то время как 5(ер0) определен
лишь "на поверхности энергии", т. е. его аргумент ф0 является решением
свободного уравнения движения. Зная функционал Z(т]), можно восстановить
5(ф0). Соответствующая процедура задается так называемыми формулами
приведения. Их легко усмотреть из сравнения формул (3.24) и (3.27).
Чтобы получить явные формулы, введем расширенный функционал 5(ф), заменив
в формуле (3.24) ф0 произвольной функцией четырех переменных. Тогда
расширенные вне поверхности энергии коэффициентные функции суть
вариационные производные
П
(3.28)
5 п (xi, . . . j хп)
б I 6
7"гт 5 (ф) . (3.29)
\хп) ф = 0
i 6ф (*i) ' ' * i бф (хп)
§ 3. ПРОИЗВОДЯЩИЙ ФУНКЦИОНАЛ ДЛЯ S-МАТРИЦЫ 49
С другой стороны, заменим в функционале Z(ц) аргумент х\(х) на ц(х), где
Л (*) = § Dc (х - у)ч\ (у) dy. (3.30)
Тогда прямым сравнением убеждаемся, что
5 П ллм {j • j sira s w L -
-7Ш-ТШг'"и'1 (3'3I)
Таким образом возникает простой рецепт вычисления нормального символа S-
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed