Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение Шредингера должно быть общим уравнением, т. е. должно быть пригодно для решения всех, а не только частных задач. Поэтому в него не должны входить значения параметров (например, начальные условия, конкретный вид силовых полей и пр.), выделяющие частные виды движения. В него могут входить мировые постоянные, например постоянная Планка. Могут входить массы и импульсы частиц, но их численные значения не должны быть конкретизированы. Силовые поля, в которых движется частица, также должны быть представлены в общем виде. Здесь дело обстоит так же, как с уравнениями Ньютона или Максвелла, которые приспособлены для решения всех, а не только частных механических или электродинамических задач. Кроме того, надо потребовать, чтобы уравнение Шредингера было линейно и однородно по 4х. Этим будет обеспечена справедливость принципа суперпозиции волновых функций, необходимость которого диктуется интерференцией и дифракцией волн вещества (см. § 19, пункт 8).
2. При отыскании уравнения Шредингера заметим, что одним из решений его в свободном пространстве должна быть тлоская волна де Бройля (21.1). Найдем дифференциальное уравнение, удовлетворяющее перечисленным выше условиям
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
133
решением которого является эта волна. Дифференцирование
(21.1) по х дает
d4'.. = Ik 4/ <j24f. =
дх lRx*' дх2
Такие же соотношения получим при дифференцировании по у и z. Сложением полученных вторых производных найдем
V2^ = - k2W = --^W. (21.2)
Это — дифференциальное уравнение, но не то, которое мы ищем. Действительно, при выводе величина р предполагалась постоянной, а потому уравнение (21.2) описывает конкретное движение с заданным постоянным импульсом. Продифференцируем теперь (21.1) по времени при постоянной со:
ж=-^=-4ч; <21-3)
Это уравнение также не годится. Оно описывает движение частицы в свободном пространстве с постоянной кинетической энергией 8. Разделим, однако, почленно уравнение (21.2) на уравнение (21.3) и учтем, что в нерелятивистской механике 8 — р2/2т. Таким путем придем к' однородному линейному уравнению
которое уже не содержит никаких индивидуальных параметров, выделяющих конкретное движение. Примем в качестве постулата, что уравнение (21.4) справедливо для любых движений частицы в свободном пространстве. Это уравнение и есть уравнение Шредингера в отсутствие силовых полей.
Обобщим теперь уравнение (21.4) на случай движений в силовых полях. Ограничимся случаем потенциальных силовых полей, которые, как и в классической механике, характеризуются потенциальной функцией или потенциальной энергией 0 (г). Единственными непотенциальными силами, встречающимися в атомной механике, являются силы магнитные, но мы временно отвлечемся от их рассмотрения. Заметим теперь, что %/dt имеет размерность энергии. Значит, одинаковую размерность имеют дФ
и величины ift -gj- и U (г) 4х. Поэтому прибавление в правой части уравнения (21.4) слагаемого U(r)W не меняет размерности этого уравнения. Можно думать, что полученное таким путем уравнение
ih^=--?ry2V + U(r)V (21.5)
будет правильно учитывать влияние потенциального силового поля на движение частицы. Это и есть уравнение Шредингера.
134
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАНИЕ
[ГЛ. IV
Путь, которым мы пришли к уравнению Шредипгера, конечно, не может служить доказательством этого уравнения. Но уравнение Шредингера — существенно новый принцип. Его нельзя логически вывести из старых принципов, в которых он не содержится. Единственным доказательством уравнения Шредингера является только опыт — опытная проверка всех выводимых из него следствий. Такую проверку уравнение Шредингера выдержало.
3. В уравнении (21.5) в неявной форме уже заложена двойственная— корпускулярно-волновая — природа вещества. Согласно интерпретации волновой функции XF частица не локализована. Она, как принято говорить, с определенной вероятностью «размазана» в пространстве. Казалось бы, что при написании уравнения (21.5) это обстоятельство с самого начала должно быть принято во внимание, т. е. под U следовало бы понимать потенциальную энергию частицы с учетом всех возможных положений ее и их вероятностей. На самом деле в уравнении (21.5) это не предполагается. Потенциальная функция U(г) рассматривается в нем так же, как в классической физике, т. е. как функция локализованной, в частности точечной, частицы в силовом поле. Например, в атоме водорода для электрона в поле ядра полагают U(r) = —е2/г, т. е. поступают так же, как если бы обе эти частицы были локализованы.
4. Уравнение Шредингера — первого порядка по времени. Отсюда следует, что заданием волновой функции ^ во всем пространстве в какой-либо момент времени (например, принимаемый за начальный) однозначно определяется функция Ч*1 также во всем пространстве во все последующие моменты времени. Не следует смотреть на это утверждение как на выражение принципа причинности в квантовой механике. Ибо выражаемая им «причинность» относится к волновой функции Ч^ А волновая функция связана с реально наблюдаемыми объектами вероятностными соотношениями. Поэтому квантовая механика, по крайней мере в современной ее форме, является принципиально статистической теорией.
