Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
= йсо (п + у) (п = 0, 1, 2, .. .)¦ (23.10)
Эти уровни эквидистантны, т. е. находятся на равных расстояниях друг от друга. На рис. 43 они изображены горизонтальными прямыми.
Классический осциллятор излучает свет только с одной частотой ш. Казалось бы, что в соответствии с правилом частот Бора в квантовом случае возможно излучение со всевозможными кратными частотами УУю (N — целое число). На самом деле при излучении фотона этого не происходит. Из этого затруднения в старой квантовой теории Бор вышел, руководствуясь принципом соответствия. Чтобы исключить кратные частоты, на переходы между уровнями энергии осциллятора было наложено ограничение, называемое правилом отбора. Согласно этому правилу квантовое число п осциллятора при излучении и поглощении фотона может меняться только на ±1, т. е.
Дп = ±1. (23.11)
Это правило отбора выводится и в последовательной квантовой механике, не обращаясь ни к какому принципу соответствия. Квантовая механика позволяет вычислить вероятность перехода осциллятора с одного уровня на другой с излучением или поглощением фотона. Оказалось, что эта вероятность обращается в нуль, когда правило отбора (23.11) не соблюдается.
ЗАДАЧА
Найти полиномы Чебышева—Эрмита и волновые функции одномерного гармонического осциллятора для п = 1, 2, 3, 4, 5.
Решение. Ради примера рассмотрим случай п = 4. Задача сводится к решению уравнения (23.9) в виде полинома
Рі (Ю — at%4 + ЯЗІ3 + 02І2 + al? + а0-
§ 24] ОДНОМЕРНЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ЯМЫ 147
Подставляя эго выражение в уравнение (23.9) и сравнивая коэффициенты, найдем, что оно удовлетворяется при любом значении а4, как это и должно быть согласно общей теории. Далее, находим а2 = —3а4, а0 = —'Uai = 3Uat. а3 = а, = 0. Итак,
Я4(&) = М64-3?г + 3/4).
Корни этого полинома
| = ± V'/г (3 ± Уб }
вещественны и некратны.
Аналогично,
Рі (?)-віЕ. (Б) = «я (Ба — 1/2),
ЯзШ = а3(|3-т
Ps(t) = as(tB-43+'5Ul).
Волновые функции получаются умножением этих полиномов на е~^2. Их обычно нормируют к единице, т. е. подчиняют условию
+ 0°
J I Р (I) е-^2 |2 rfg = 1.
— с»
§ 24. Одномерные прямоугольные потенциальные ямы
1. Квантование на основе уравнения Шредингера (22.1) полезно уяснить на примере одномерной симметричной «потенциальной ямы» прямоугольной формы. Так называется потенциальная функция U (х), принимающая на интервале —- а <
< х < -+-а постоянное значение — JJa и обращающаяся в нуль вне этого интервала (рис. 44). Для этого случая легко получить
8в
со
и(х)
Рис. 44
-а 0 +ч х Рис. 45
точное решение уравнения Шредингера и на его основе рассмотреть задачу о квантовании энергии. Но этим значение прямоугольных потенциальных ям не исчерпывается. В ряде случаев (например, в ядерной физике) истинный ход потенциальной функции U(х) неизвестен. Аппроксимируя U(х) потенциальной ямой прямоугольной формы, получают в таких случаях
148
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАНИЕ
[ГЛ. IV
не только качественные, но даже количественные результаты оценочного характера.
2. Наиболее простым в математическом отношении является случай бесконечно глубокой потенциальной ямы, когда величина U0 обращается в бесконечность. В этом случае целесообразно за нуль потенциальной функции принять ее значение на «дне» потенциальной ямы, т. е. на интервале —а < х < -j-a. Тогда на «стенках» ямы (т. е. при х = ±а) функция U (х) будет претерпевать разрыв от 0 до +оо. Такая потенциальная яма изображена на рис. 45.
Математическое упрощение задачи при переходе от ямы конечной глубины к бесконечно глубокой яме связано с тем, что в последнем случае вне интервала —а < х < -\-а, где U всюду бесконечно велика, функция і|з должна обращаться в нуль. Действительно, согласно классической физике, частица с конечной энергией Ж не может попасть в область, где U(x)=-\-oo.
В квантовой механике это утверждение заменяется требованием
обращения в нуль плотности вероятности а следовательно, и самой функции г|з. Таким образом, достаточно рассмотреть решение уравнения Шредингера только в интервале —а < х <
< +а, что и ведет к упрощению задачи.
Внутри интервала — а < л; < -\-а U{x) = 0 и уравнение
(22.1) принимает вид
43-+ ^ = 0, (24.1)
где введено обозначение
k2 = 2 mS/ti. (24.2)
Не теряя общности, достаточно ограничиться положительными значениями k, что и предполагается ниже. Общее решение уравнения (24.2) имеет вид
яр = A cos kx + В sin kx,
причем на стенках ямы х = +а должно быть г|з=0. Это дает
A cos ka + В sin ka = 0 при х = -\-а,
A cos kct— В sin ka — 0 при х = — а.
Если АфО, то A cos ka — O' и, следовательно, cos ka == 0,
sin ka ф 0, B-s=0. Наоборот, если Вф 0, то В sin ka = 0 и, сле-
довательно, sin ka — 0, cos ka ф 0, A — 0. Таким образом, все решения уравнения (24.2) распадаются на два класса:
1) с четными функциями
г|з = A cos kx, ka — л/2, Зл/2, 5я/2,
2) с нечетными функциями
¦ф — В sin kx, ka = 2(n/‘2), 4 (п/2), 6 (п/2), ...
§24] ОДНОМЕРНЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ЯМЫ 149
Возможность ka = 0 во втором случае исключается, так как тогда было бы гр = 0, что не имеет физического смысла. Постоянные А и В обычно определяются из условия нормировки
