Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
6. При дальнейшем увеличении параметра 8, а следовательно, и расстояния между точками поворота кривые ^ = \f>i(x) и ij) = ij)2(^), по-прежнему загибаясь вниз, начнут опускаться. Опять на вертикальной оси появится угловая точка (рис. 42,г), т. е. второе условие (22.3) перестанет выполняться. Однако в качестве решения уравнения Шредингера при х -< О теперь можно взять новую функцию г|з2(х), отличающуюся от прежней функции л^2 (-v) знаком. Она изображена на рис. 42, г пунктирной кривой. Ясно, что эта пунктирная кривая зеркально симметрична с прежней кривой ^ = ,ф2(л:) относительно горизонтальной координатной оси, а следовательно, симметрична с кривой "ф = грі (х) относительно начала координат. Когда угловая точка, упомянутая выше, опустится в начало координат, верхняя кривая г|з = г|зі(х) непрерывно сомкнется с нижней (пунктирной) кривой, т. е. первое условие (22.3) будет выполнено. Со-
142
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАНИЕ
[ГЛ. IV
ответствующая результирующая кривая изображена на рис. 42, д уже всюду сплошной линией. При этом будет выполнено и второе условие (22.3), так как в начале координат грі = грг, а потому оно является точкой перегиба результирующей кривой. Рассмотренному случаю соответствует второе собственное значение энергии 8 = <%2.
Третьему собственному значению <8 = ё>з соответствует волновая функция, представленная на рис. 42, е.
Продолжая этот процесс дальше, убеждаемся, что собственные функции стационарных состояний имеют узлы, в которых они обращаются в нуль. Число узлов на единицу меньше номера соответствующего собственного значения энергии.
7. Итак, при & < 0 собственные значения энергии образуют дискретный спектр. Поскольку в этом случае волновая функция стационарного состояния на бесконечности асимптотически экспоненциально убывает, можно сказать, что при <8 < 0 частица находится в практически ограниченной области пространства, т. е. совершает финитное движение. Напомним, что в классической механике условие финитности движения также имеет вид <8 < 0 (см. т. I, § 25). Различие состоит только в том, что согласно классической механике частица не может проникать в пространство за точками поворота, тогда как по квантовой механике ее можно обнаружить и в этом пространстве, хотя и с вероятностью, быстро убывающей при удалении от точек поворота.
Число возможных стационарных состояний или энергетических уровней зависит от вида потенциальной функции U(x). Оно может быть конечным или бесконечным. В частности, когда глубина симметричной потенциальной ямы достаточно мала, возможно всего одно стационарное состояние. Если же число дискретных энергетических уровней бесконечно велико, то, очевидно, с возрастанием номера уровня его энергия должна асимптотически приближаться к Ж = 0, а расстояние между соседними уровнями — стремиться к нулю.
8. Отметим еще раз, что не существует стационарного состояния с энергией Ї8 = t/мин. В противном случае частица все время находилась бы в точке х = 0, т. е. покоилась бы на дне потенциальной ямы, что противоречит принципу неопределенностей Гейзенберга (см. § 20, пункт 8). Наименьшая энергия, которую может иметь частица в потенциальной яме, равна <8\, Эта энергия называется нулевой энергией. Нулевая энергия в заданной потенциальной яме U(х) не может быть отнята от частицы, поскольку она является наименьшей допустимой энергией. Чтобы ее изменить, надо изменить саму потенциальную яму.
Нулевая энергия проявляется во многих явлениях. Примером может служить гелий. При абсолютном нуле температуры
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА И КВАНТОВАНИЕ
143
его атомы не находятся в покое, а благодаря наличию нулевой энергии совершают так называемые нулевые колебания. Вблизи абсолютного нуля они еще достаточно интенсивны, тогда как силы молекулярного притяжения слабы. Этих сил недостаточно, чтобы жидкий гелий перевести в твердое состояние, даже при абсолютном нуле температуры. Требуется повысить давление на гелий до 24 атм или выше, чтобы он (при Т = 0) перешел в твердое состояние.
9. Осталось рассмотреть решение уравнения (22.1) при положительных значениях параметра 8. В этом случае на бесконечности уравнение (22.1) асимптотически переходит в
•0-+Р21> = О, (22.4)
где Р = д/2m&i'tr, т. е. [} — положительная постоянная. Оно имеет два линейно независимых решения sin fix и cos fix, остающиеся конечными при х — ± оо. Поэтому любое решение т|э(л:) уравнения (22.4) также конечно при х->-±оо, хотя при этом оно и не стремится к определенному пределу, а осциллирует. Если U(л) непрерывна, то будет непрерывно и всякое решение уравнения (22.4) вместе со своей производной в любой точке интервала —оо < х < + оо. Взяв любое решение, осциллирующее на отрицательной бесконечности, и продолжив его в сторону положительных А', мы получим всюду непрерывное решение с непрерывной производной, осциллирующее на положительной бесконечности. Условие сшивания (22.1) выполняется автоматически.
Таким образом, каким бы ни был положительный параметр Ж, любое решение уравнения (22.1) может быть волновой функцией. Это значит, что при <§ > 0 энергетический спектр частицы непрерывный. Поскольку при х = ±оо функция гр остается конечной, частица с отличной от нуля вероятностью может уходить в бесконечность. Иными словами, при & > 0 движение частицы будет инфинитно. Таково же условие инфинитности движения и в классической механике (см. т. I, § 25).
