Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
121
ствующих понятий иногда бессознательно подменялись наивными представлениями, заимствованными из повседневной жизни. Это приводило к трудностям. Так было, например, с понятиями пространства и времени, критический пересмотр которых привел к теории относительности. Но порядок построения теории всегда оставался прежним — сначала вырабатывались понятия и лишь потом устанавливались соответствующие уравнения. Квантовая механика пошла по другому пути. Сначала были установлены уравнения для каких-то символов (к числу их относится, например, волновая функция), физический смысл которых был совсем не ясен. Лишь потом занялись отысканием связи этих символов с реальной действительностью. Такой путь построения теории хотя и представляется противоестественным, но логически он допустим, если только связь с реальностью полностью установлена. По такому пути приходится идти и нам. Пока что мы связали волновую функцию Т с соответствующей плотностью вероятности VF*VF. Но этим не исчерпывается физическая интерпретация всех понятий и величин, которые пришлось ввести в связи с функцией Ч11.
§ 20. Соотношение неопределенностей
1. В классической механике состояние материальной точки в каждый момент времени характеризуется ее положением и импульсом. Реальные микрочастицы — электроны, протоны, атомы, молекулы и пр. — более сложные объекты. Нельзя характеризовать мгновенное состояние микрочастицы точными заданиями ее положения и импульса. Причина этого в том, что всякая микрочастица проявляет и корпускулярные, и волновые свойства. Нельзя сказать, что в определенной точке пространства длина волны равна X, если о волновом поле во всех остальных точках пространства ничего не известно. Длина волны есть характеристика синусоиды, а синусоида — бесконечная периодическая кривая. Если из нее вырезать малый кусочек и удалить все остальные части, то оставшийся кусочек потеряет самое характерное свойство синусоиды — ее периодичность. Для кусочка, малого по сравнению с X, понятие длины волны неприменимо. Ясно, что выражения «длина волны в данной точке пространства л: равна X» или «частота волнового процесса в данный момент времени t равна со» не имеют никакого смысла — величина X не является функцией х, а величина со — функцией t.
С другой стороны, если какое-либо волновое образование занимает ограниченную область пространства, то его всегда можно представить синусоидами. Только одной синусоиды для этого недостаточно. Требуется волновой пакет — суперпозиция множества синусоид различных частот, которые усиливались бы в определенном интервале пространства и взаимно гасили бы
122
волновые Свойства частиц вещества
[ГЛ. пт
друг друга вне этого интервала. Если длина волнового пакета равна Да- (ради простоты мы ограничиваемся одним измерением), то волновые числа k, необходимые для его образования, не могут занимать как угодно узкий интервал Ak. Минимальная ширина интервала Ak должна примерно удовлетворять соотношению
Ax-Ak^2n (20.1)
(см. т. IV, § 30). Это — чисто волновое соотношение. Из него следует, что в коротком радиосигнале (малое Ах) всегда представлены с заметной интенсивностью монохроматические волны с различными значениями к. Такие сигналы будут приниматься приемниками, настроенными на различные волны. Если же требуется принимать сигналы, близкие к монохроматическим (малое ЛЯ), то они по необходимости должны быть длинными (большое Ах).
Напомним, как из элементарных соображений можно прийти к соотношению (20.1). Рассмотрим множество синусоид одинаковых амплитуд, волновые числа которых k последовательно возрастают от синусоиды к синусоиде на одну и ту же величину. В точке х фазы волн меняются от kx до (k -f- Ak)x, т. е. на величину xAk. Если xAk = 2я, то в этой точке все синусоиды взаимно гасят друг друга. Найдем ближайшую точку х-\-Ах, в которой будет происходить такое гашение. В этой точке разность фаз между крайними синусоидами будет
(k + Ak) (х + Ал:) — k (х + Ах) = х Ak-{- Ах ¦ Ak = 2nАх ¦ Ak.
Ближайшее гашение произойдет, когда Ах-А/е == 2л. Таким образом, все волновое возмущение разобьется на отрезки одинаковой длины Ах, причем на концах каждого отрезка волновое поле обратится в нуль. Такой результат получился потому, что все синусоиды были взяты с одной и той же амплитудой. Но если воспользоваться синусоидами всевозможных амплитуд, то можно усилить возмущение в пределах только одного отрезка Ал:, а вне этого отрезка всюду его погасить. Это следует из математической теоремы Фурье, причем необходимым условием является выполнение соотношения типа (20.1). Именно такой случай мы и будем иметь в виду.
2. Рассмотрим теперь волновой пакет из волн де Бройля, размеры которого и соответствующие пределы волновых чисел удовлетворяют условию (20.1). Согласно статистической интерпретации вероятность обнаружения частицы будет отлична от нуля только в пределах пакета. А чему будет равен импульс частицы? Каждой волне де Бройля с волновым вектором k соответствует значение импульса р = hk. Определенного импульса для всего пакета не существует. Существует набор импульсов, заполняющих интервал от р — Ьк до р -\- Ар =
