Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
5. Уравнение Шредингера, как это требовалось с самого начала для выполнения принципа суперпозиции, линейно и однородно относительно функции ЧЛ В точной математической форме принцип суперпозиции сводится к двум утверждениям. Во-первых, если Ч^ и Чг2 — какие-либо два решения уравнения Шредингера, то и всякая линейная комбинация их ai^Fi + с^Ч*^ с постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами а,[ и аг есть также решение того же уравнения. Во-вторых, если волновые функции Ч^ и Чг2 описывают какие-либо два состояния системы, то и линейная комбинация a^F, -f а2Чг2 также описывает какое-то состояние той же системы. Конечно, состояние частицы определяется не самими коэффициентами а\
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
135
и а2, а только их отношением ai/a2. Состояние не изменится, если оба коэффициента умножить на одну и ту же вещественную или комплексную постоянную. Эго позволяет, например, функцию V == ajWi + «2^2 нормировать (если интеграл
взятый по всему пространству, сходится).
6. Особое значение в квантовой механике имеют стационарные состояния. Это —такие состояния, в которых все наблюдаемые физические параметры не меняются с течением времени. Сама волновая функция V не относится к этим параметрам. Она принципиально ненаблюдаема. Не должны меняться во времени только физически наблюдаемые величины, которые могут быть образованы из Ч' по правилам квантовой механики. Оказывается, что в стационарных состояниях
W(r, і) = г|)(г)е-'“<, (21.6)
где частота со постоянна, а функция гр(г) не зависит от времени. Не располагая сейчас правилами составления из V принципиально наблюдаемых величин, проверим, что одна из таких величин, а именно плотность вероятности р = в состоянии
(21.6) во времени остается постоянной. Действительно,
р = гр* (г)еш • ф (г)е~ш = гр* (г) гр (г),
а эта величина от времени действительно не зависит.
Для определения функций гр(г) в стационарных состояниях подставляем выражение (21.6) в уравнение (21.5) и находим
йшгр = [— у2 + U (г)] гр.
По аналогии со световыми квантами примем гипотезу, что величина Н(о представляет собой полную энергию частицы <? в стационарном состоянии. Таким образом, для энергии в стационарном состоянии получается уравнение
[~?-V2 + f/(r)]t = ^. (21.7)
Это уравнение не содержит времени и называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. В отличие от него
(21.5) называется временным или общим уравнением Шредингера. В отношении потенциальной функции U(r), входящей в уравнение (21.7), полностью справедливы замечания, которые были сделаны в связи с уравнением (21.5). Функция U(г) определяется классически, как если бы никакими волновыми свойствами частица не обладала.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний, конечно,-удовлетворяет принципу суперпозиции. Однако суперпозиция стационарных состояний с различными энергиями уже не будет стационарным состоянием.
I3fi УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАНИЕ [ГЛ. IV
Шредингер показал (см. § 22), что уравнение (21.7) полностью решает проблему квантования энергии системы. Для этого под & следует понимать энергию системы в стационарном состоянии, а относительно физического смысла самой волновой функции г|з(г) никаких предположений вводить не требуется. Необходимо только наложить на решения г|з(г) уравнения
(21.7) некоторые естественные условия, которым они должны удовлетворять на бесконечности и в особых точках потенциальной функции U (г). В следующем параграфе будет показано, что такие решения существуют, вообще говоря, не при всяких значениях &, а только при некоторых. Это и есть избранные значения энергии в стационарных состояниях. В частности, для атома водорода получаются в точности те же значения &, которые давала старая теория Бора. Это был первый крупный успех волновой механики, с которого началось ее дальнейшее бурное развитие.
7. Уравнение (21.7) в сочетании с принципом суперпозиции естественно приводит и к правилу частот Бора. С этой целью заметим, что всякий физический процесс характеризуется изменениями во времени каких-то реальных физических величин. Но в стационарных состояниях все реальные физические величины остаются постоянными. Поэтому волновая функция, описывающая состояние, в котором происходят реальные физические явления, должна быть обязательно нестационарной. Рассмотрим простейшее нестационарное состояние
W = Ч/1 + Чг2, (21.8)
представляющее собой суперпозицию двух стационарных состояний
'Fi = 'Фі {г)е~ш, 4r2 = i|)2(r)e_lW. (21.9)
Вычислим в этом состоянии простейшую реально наблюдаемую величину — плотность вероятности р. Получим р = (<¦»-<¦»>f +
Учтем разность фаз, которая может существовать между грі и г|з2. Для этого положим = | ,4)11е~г6‘, г|)2 = | г|)2 \е~1&\ где бі и 62 — величины вещественные. Тогда получим
Р = (І Ь I2 + I $212) + 21 "Фі I • I ^ I cos [(со2 — CDi) / + (й2 — 6j)]. (21.10)
Такова (ненормированная) плотность вероятности состояния Чг = Чгі + Чг2. Она содержит постоянный член (|г|)і|2 + |г|з2|2) и интерференционный член 2|г))і | • |t|32|cos((Oi2< + б2 — 6i), rap-
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА И КВАНТОВАНИЕ
