Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
10. В заключение заметим, что естественные требования, накладываемые на решения уравнения Шредингера, о которых говорилось в начале этого параграфа, могут быть ослаблены. Достаточно ограничиться трехмерным случаем. Во-первых, в этом случае потенциальная функция U (г) может в некоторой точке обращаться в бесконечность. Пусть такой точкой является начало координат г — 0. Тогда, как доказывается в квантовой механике, допустимы решения, которые в окрестности начала координат ведут себя как г|з ~ 1 /га с положительным значением постоянной а. Однако должно быть а < 1. Во-вторых, из физических соображений ясно, что требование однозначности должно
144
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАН! 1L
[ГЛ. IV
налагаться не на саму функцию i|), а на плотность вероятности Но во всех вопросах, рассматриваемых в квантовой механике, оно сводится к однозначности i|). На этих вопросах мы не можем останавливаться.
§ 23. Гармонический осциллятор
и(х)
\ ¦—
Рис. 43
1. Гармоническим осциллятором в классической физике называют частицу, на которую действует сила, пропорциональная отклонению частицы из положения равновесия и направленная к нему. Осциллятор называется одномерным, если частица может двигаться только вдоль одной прямой. Последнюю мы примем за ось X, а положение равновесия — за начало координат. Потенциальная функция частицы имеет вид
?/ = i/2kx2, (23.1)
где k — постоянная (коэффициент упругости), а х — отклонение частицы от положения равновесия. Графиком функции U(х) является парабола (рис. 43). Согласно классической механике осциллятор совершает гармонические колебания с циклической частотой м = Vk/m’ ГД? m — масса частицы.
В квантовой механике понятие силы не используется. Поэтому квантовый гармонический осциллятор следует определить как частицу с потенциальной функцией U (х). Найдем энергии стационарных состояний осциллятора, следуя идеям предыдущего параграфа. Но здесь возникает следующая трудность. Функцию U(х) нельзя нормировать так, чтобы она обращалась в нуль в бесконечности, так как при х = ±оо она сама бесконечно велика. Но эта трудность искусственная. В реальных системах при возрастании |х| начинают проявляться отступления от параболической формулы (23.1), так что U(dtоо) становится конечной. Рассмотрим случай, когда U(х) симметрична, так что ?У(+оо) = ?/(—оо). Тогда методы предыдущего параграфа становятся применимыми. Но здесь удобнее за нуль U(х) принять ее значение при х — 0. Мы проведем решение, предполагая, что формула (23.1) справедлива при любых х. Однако для реального осциллятора полученные результаты будут справедливы для не слишком больших значений \х\.
2. Уравнение Шредингера для одномерного гармонического осциллятора имеет вид
(23.2)
§ 2а,
ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
145
Если ввести безразмерные величины
Х — 2S/ha, \ —х-\Jk/tia, (23.3)
то оно преобразуется в
- ^ (23.4)
При определенном значении параметра к это уравнение имеет решение i)> = euS\ где а — постоянная, которая сейчас будет определена вместе с к. Действительно,
— 2alea$2 ~ 2а?'ф,
dt,
-^jf- = 2аф + 2а| -^ = (4а2?2 + 2аН-
Подставляя эти значения в (23.4), получим
(1 — 4а2’ ?2 — 2а = X,
причем эго соотношение должно выполняться тождественно по |. Это будет тогда и только тогда, когда 1 — 4а2 = 0, к = = —2а, т. е. а = ±1/2. Знак плюс следует отбросить, так как в этом случае функция i\> = ea^ обращалась бы в бесконечность при ? = ±оо. Таким образом, получается решение
ф = (23.5)
если Я = 1. Это решение не имеет узлов, а потому оно описывает основное состояние гармонического осциллятора. Ему соответствует нулевая энергия
<Г0 = (к/2) ft© == йсв/2. (23.6)
3. В1 стационарном состоянии с энергией 8п функция і|з должна иметь п узлов. Такое число узлов имеет функция
ф = Рп (I) е-^2, (23.7)
где PniV) —полином п-й степени с некратными вещественными корнями. При избранных значениях параметра к такая функция действительно является решением уравнения (23.4) и обращается в иуль на бесконечности. При таких значениях к она и будет волновой функцией осциллятора. Дважды дифференцируя ее и подставляя d2ty/dx2 в уравнение (23.4), получим
- К & + + Рп®_= (23.8)
Это соотношение должно выполняться тождественно по ?. В нем все подчеркнутые члены являются полиномами степени п. Степень полинома Р" (I) на два меньше, т. е. равна п — 2 (п'^2). Чтобы определить к, достаточно сравнить коэффициенты при
146
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАНИГ
(ГЛ. IV
старших членах подчеркнутых полиномов. Если коэффициент при в полиноме Рп(1.) равен ап, то в полиноме 2(|) соответствующий коэффициент равен .2па„. Поэтому необходимо, чтобы выполнялось соотношение 2п -f- 1 = к. Тогда
-P"(l) + 2lP'riH)^2nPri(l). (23.9)
Полиномы, являющиеся решениями этого уравнения, называются полиномами Чебышева — Эрмита. Можно доказать (на чем мы не останавливаемся)., что все корни полиномов Чебышева — Эрмита некратные и вещественные. Это легко доказать для небольших п, фактически находя сами полиномы и вычисляя их корни (см. задачу к этому параграфу).
Подставляя к = 2п + 1 в (23.3), находим энергетические уровни осциллятора:
