Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
123
— Aft). Неизвестно, какой импульс будет обнаружен в
волновом пакете при измерении. В лучшем случае можно указать только его вероятность. При измерении импульс будет обнаружен с той или иной вероятностью между р — hk и р + Ар = = ft (ft + Aft). Поэтому, выражая ft через р, соотношение (20.1) можно переписать в виде
Ах .• Ар 2лй = h. (20.2)
Это соотношение называется соотношением или принципом неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса частицы. Оно определяет допустимый принципиальный предел неточностей Ах и Ар, с которыми состояние частицы можно характеризовать классически, т. е. координатой .ї и импульсом р. Чем точнее х, тем с меньшей точностью возможно характеризовать р, и наоборот. Но соотношение Гейзенберга никоим образом нельзя толковать в том смысле, что частица в каждый момент времени имеет определенные значения х и р, но мы их принципиально не можем узнать с большей точностью, чем это позволяет соотношение неопределенностей (20.2). Такая агностическая точка зрения существовала, но она совсем не соот-' ветствует природе изучаемых микрообъектов. Истинный смысл соотношения (20.2) отражает тот факт, что в природе объективно не существует состояний частиц с точно определенными значениями обеих переменных х и р.
Принцип неопределенностей был сформулирован Гейзенбергом в 1927 г. и явился важным шагом в интерпретации закономерностей микромира и построении квантовой механики.
В частном случае неопределенности Ар может и не быть (Ар — 0). Так будет, например, в случае плоской монохроматической волны де Бройля. Но тогда, согласно соотношению неопределенностей, А* = сю, т. е. о месте, где будет локализована частица, ничего сказать нельзя. Она может быть с равной вероятностью обнаружена в любой точке пространства. Напротив, когда Ах = 0, то Ар = оо. В этом случае волновая функция стягивается в точку. При локализации частица будет обнаружена в одной определенной точке (например, начале координат), но об импульсе, который будет найден при локализации, можно высказать только вероятностное утверждение. Можно показать, что в этом случае все значения импульса будут равновероятны.
3. В трехмерном случае классически частица характеризуется тремя прямоугольными координатами х, у, г и сопряженными им импульсами рх, ру, рг. В этом случае соотношения неопределенностей Гейзенберга выражаются тремя неравенствами
Ax-ApxPsh, Ay-Ayp^h, Az-Ap^h. (20.3)
124
ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ ВЕЩЕСТВА
[ГЛ. III
Никаких ограничений на произведения гипа Ах-Ару, Ау-Арг, которые получаются от умножения неопределенностей координат на неопределенности импульсов, сопряженных с другими координатами, соотношения неопределенностей не накладывают. Величины х и ру, х и рг одновременно могут иметь и совершенно точные значения.
4. Соотношению (20.2) можно придать точную количественную форму, которую мы приведем без доказательства. В соотношении (20.2) величины Ах и Ар точно не определены. Но любая волновая функция ^ позволяет определить среднее значение координаты х, а ее спектральный состав — среднее значение р. Из этих величин находятся отклонения от среднего Ах = = х — х, Ар — р — р и средние квадраты этих отклонений Ах2 и Ар2. Точное соотношение неопределенностей гласит:
Д?-Др5>Й2/4. (20.4)
Как правило, мы не будем пользоваться этим соотношением, так как во всех принципиальных вопросах существенно знать лишь порядок величины Ах-Ар, а не ее точное значение.
5. Мы распространим соотношения неопределенностей (20.3) и на случай макроскопических тел, хотя в этом случае и не существует никаких опытов, подтверждающих или опровергающих эти соотношения. Единственным оправданием соотношений неопределенностей в этих случаях служит наша уверенность в их универсальности и всеобщности. Поэтому мы поставим вопрос, как сказалось бы соотношение неопределенностей на движении макроскопического тела, если бы это соотношение в рассматриваемом случае было действительно верно? Возьмем маленький шарик с массой пг = 1 г. Определим положение центра этого шарика с высокой точностью Ах = 10~8 см, т. е. с точностью до размера атома. Тогда неопределенность импульса шарика будет Ар ~ h/Ax « 6,63-10~19 г-см/с, а неопределенность скорости Av = Ар/m « 6,63-10-19 см/с. Такая точность недоступна никакому измерению, а потому и отступления от классического движения, вызываемые соотношением неопределенностей, далеко лежат за пределами возможностей эксперимента.
Совсем иначе обстоит дело с движением электрона в атоме. Имеет ли смысл говорить о классическом движении электрона по боровской орбите? Возьмем для определенности атом водорода и первую боровскую орбиту. Чтобы такое движение имело смысл, необходимо, чтобы неопределенность значения радиуса Ал была мала по сравнению с самим радиусом орбиты r = h2/(me2). Но в этом случае неопределенность значения радиального импульса будет
АрГ яа /г/Аг з>/г/г = 2яh/r = 2яр,
СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
125
что превосходит сам импульс электрона p = h/r. Аналогичное справедливо и для других боровских орбит, если только квантовое число не очень велико. При таких условиях представление
