Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
(20.11).
Если частоте со сопоставить энергию по формуле 8 = На>, то формула (20.11) перейдет в
At • А8 ^ 2яй = h. (20.12)
Формула (20.12) называется соотношением неопределенностей Гейзенберга для времени и энергии.
130
ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА частин вещества
ггл. in
Соотношение (20.12) означает, что чем короче время существования какого-то состояния или время, отведенное для его наблюдения, тем с меньшей определенностью можно говорить об энергии этого состояния. Наоборот, чем больше это время, тем с большей точностью определена энергия состояния. Если состояние стационарно, то оно может существовать бесконечно долго. Именно по этой причине энергия стационарного состояния имеет вполне определенное значение. Противоположным примером может служить нестабильная элементарная частица, распадающаяся за очень короткое время (скажем, порядка 10~20 с). Об определенной энергии такой частицы говорить не приходится. Поэтому при рассмотрении процесса ее распада не требуется налагать условие сохранения энергии.
ЗАДАЧИ
1. На какую кинетическую энергию сРКин должен быть рассчитан электронный (и протонный) ускоритель для исследования структур с линейными размерами I ~ 1 ферми (10-13 см)?
Ответ. _________
¦З’кин > тс2 Vi + (А,//)2 — тс2.
где X = h/(mc)—комптоновская длина волны электрона (протона). Для
электрона
<8'кин > тес2Хе/1 ж 720 МэВ.
Для протона
<?кин > трс2 л/\ + (Я,р//)2 - т?с2 « 600 МэВ.
2. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет около ~ 10“8 с. При переходе атома з нормальное состояние испус кается фотон, средняя длина волны которого равна X — 500 нм. Оценить ширину ДА и относительную ширину ДАД излучаемой спектральной линии, если не происходит ее уширения за счет других процессов. (Такая ширина называется естественной шириной спектральной линии.)
Ответ.
А2 1П-4 ДА, х т-7
----гг ~ 10 нм, —г-гг ~ Ю .
с А/ X сД/
3. Принимая во внимание, что классическая (корпускулярная) механика является приближенным предельным случаем механики волновой, найти условие, при выполнении которого рассеяние а-частиц и электронов на атомных ядрах можно рассчитывать классически, как это делал Резерфорд при выводе своей формулы (9.3).
Решение. Обозначим через а радиус атома. Можно считать, что рассеивающаяся частица подвергается действию кулоновских сил ядра только в пределах сферы радиуса а с центром в центре атома. Такая идеализация неприменима только при очень далеких прицельных расстояниях, когда получаются слишком малые углы рассеяния, при которых экспериментальные исследования не производятся. Рассмотрим плоскопараллельный пучок частиц с поперечным сечением Д*, падающий на атом, и выясним, при каких условиях
его распространение в атоме можно рассматривать классически, т. е. без учета
дифракции частиц (как это делается в приближении геометрической оптики).
Дифракционным расширением пучка, как известно из оптики (см. т. IV, §6),
можно пренебречь, если I «С Дх2/Х, где I — длина пучка. В рассматриваемой задаче под I следует понимать путь луча в кулоновом поле атома По по-
СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
131
рядку величины ( « а, Ах ~ а. Таким образом, условие применимости приближения геометрической оптики принимает вид а <С а2/>., или X <?; а. Подста вив сюда выражение для длины волны де Бройлл / —- h'n — hi (2т&)]/2, находим искомое условие:
& > /г2/(2ота2). (20.13)
При нашем рассмотрении не учтено действие ядериых сил. Но радиус ядра аяд, где и действуют ядерные силы, примерно в 105 раз меньше радиуса атома аат. Поэтому на ядро падает примерно в (аат/аяд)2 « 1010 меньше частиц, чем на атом. Точно так же не играют существенной роли и кулоновские силы в непосредственной близости от ядра. Этим наше приближение оправдано.
При численных расчетах формулу (20.13) удобно переписать в виде
(20.14)
пользуясь численным значенирм he — 1,24-10~4 эВ-см. Энергию тс2 следует брать в эВ, а длину а в см. Для а-частицы тс2 — 3,75-109 эВ. Полагая а — = 10~8 см, получаем в этом случае
#»0,2 эВ.
Энергия а-частицы порядка 1 МэВ, так что в случае а-частиц применение классической механики оправдано.
Для электрона гас2 = 0,511-Ю6 эВ, а потому должно быть <S > 120 эВ Таким образом, для электронов с кинетической энергией -—• 100 эВ классической механикой пользоваться уже нельзя.
Рассмотренную задачу можно было бы также решить на основе прим ципа неопределенностей Гейзенберга.
ГЛАВА IV
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА КВАНТОВАНИЕ
* *
§ 21. Уравнение Шредингера
1. Плоская волна де Бройля
V = Се‘ (21.1)
является весьма специальным волновым образованием, соответствующим свободному равномерному движению частицы в определенном направлении и с определенным импульсом. Но частица, даже в свободном пространстве и в особенности в силовых полях, может совершать и другие движения, описываемые более сложными волновыми функциями. Основная задача волновой механики как раз и состоит в нахождении волновых функций и связанных с ними физических следствий в самых разнообразных условиях. Для ее решения служит волновое уравнение, найденное Шредингером в 1926 г. Это — основное уравнение квантовой механики, но оно справедливо только в нерелятивистской квантовой механике, т. е. в случае движений, медленных по сравнению со скоростью света в вакууме.
