Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 19] СТАТИСТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ
117
с однородностью пространства. Но он не получился бы, если бы вместо комплексного выражения (17.1) для волны де Бройля взять вещественное, например sin или cos. Это может служить одним из оправданий использования комплексных выражений вместо вещественных. Но будет ли наблюдаться интерференция волн, если каждая из них существенно комплексна? Легко видеть, что да. Действительно, пусть две волны де Бройля представляются выражениями
eHkr-<nt)^ — ci (kr-at-6{r))^
т. e. между обеими волнами существует разность фаз б (г). При их наложении получается волна 'F = Ч^і + XF2. Вероятность обнаружить частицу в каком-либо месте пространства будет пропорциональна
ЦГ-ЦГ = (Чг; + YQ (?| + = (МГ?| + ip-чг^ +
+ (?^F, + Ч;;Ч^2) = 2 + <еі6 + е-‘й) = 2(1 + cos 6).
Она содержит интерференционный член 2 cos б (г), меняющийся в пространстве от —2 до +2, в зависимости от разности фаз
б (г). Таким образом, интерференция будет наблюдаться.
7. До сих пор говорилось только о плоских волнах де Бройля, представляемых выражением (17.1). Такие волны сопровождают свободное равномерное движение частиц. Необходимо теперь обобщить полученные результаты па случай произвольных движений частицы в произвольных силовых полях. В этих случаях полное описание состояния частицы в квантовой механике дается не плоской волной де Бройля, а какой-то более сложной комплексной функцией *F(r, t), зависящей от координат и времени. Она называется волновой функцией. В частно?,’ случае свободного движения частицы волновая функция пере ходит в плоскую волну де Бройля (17.1). Сама по себе волно вая функция вводится как некоторый вспомогательный символ и ие относится к числу непосредственно наблюдаемых величин. Но ее знание позволяет статистически предсказывать значения величин, которые получаются экспериментально и потому имеют реальный физический смысл. Эта связь волновой функции с тем, что наблюдается в действительности, будет раскрываться постепенно по мере дальнейшего изложения. Сейчас же мы ограничимся только одной стороной этого вопроса.
Через волновую функцию определяется относительная вероятность обнаружения частицы в различных местах пространства. На этой стадии, когда говорится только об отношениях вероятностей, волновая функция принципиально определена с точностью до произвольного постоянного множителя. Если во всех точках пространства волновую функцию умножить на одно и то же постоянное (вообще говоря, комплексное) число, отлич-
118
ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ ВЕЩЕСТВА
[ГЛ. III
ное от нуля, то получится новая волновая функция, описывающая в точности то же состояние. Не имеет смысла говорить, что Ч* равна нулю во всех точках пространства, ибо такая «волновая функция» никогда не позволяет заключить об относительной вероятности обнаружения частицы в различных местах пространства. Но неопределенность в определении Ч* можно значительно сузить, если от относительной вероятности перейти к абсолютной. Распорядимся неопределенным множителем в функции 4х так, чтобы величина | Чг'112cfV давала абсолютную вероятность обнаружения частицы в элементе объема пространства dV. Тогда |4f|2 = 4r*4f будет иметь смысл плотности вероятности, которую следует ожидать при попытке обнаружения частицы в пространстве. При этом V будет определена все еще с точностью до произвольного постоянного комплексного множителя, модуль которого, однако, равен единице. При таком определении должно быть выполнено условие нормировки
$|?pdV=>l, (19.3)
где интеграл берется по всему бесконечному пространству. Оно означает, что во всем пространстве частица будет обнаружена с достоверностью.
Нормировка (19.3) может оказаться невозможной, если интеграл (19.3) расходится. Так будет, например, в случае плоской волны де Бройля, когда вероятность обнаружения частицы одинакова во всех точках пространства. Но такие случаи следует рассматривать как идеализации реальной ситуации, в которой частица не уходит на бесконечность, а вынуждена находиться в ограниченной области пространства. Тогда нормировка (19.3) не вызывает затруднений. Но предельным переходом от нее можно получить рациональную нормировку и в случае частицы, не локализованной в конечной области пространства (см. § 30).
8. Итак, непосредственный физический смысл связывается не с самой функцией а с ее модулем ЧГ*'Р (или вообще с какими-то выражениями, билинейными по V* и Чг). Почему же в квантовой теории оперируют с волновыми функциями Ч', а не непосредственно с экспериментально наблюдаемыми величинами ЧГ*Ч/? Это необходимо для истолкования волновых свойств вещества — интерференции и дифракции. Здесь дело обстоит совершенно так же, как во всякой волновой теории. Она (во всяком случае в линейном приближении) принимает справедливость принципа суперпозиции самих волновых полей, а не их интенсивностей и, таким образом, достигает включения в теорию явлений интерференции и дифракции волн. Так и в квантовой механике принимается в качестве одного из основных постулатов принцип суперпозиции волновых функций, заключаю-
