Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
о движении по классическим орбитам теряет смысл. Поэтому квантовая механика при описании движений электронов в атомах отказалась от понятия траектории — этому понятию здесь реально ничего не соответствует. Так же обстоит дело и с другими элементарными частицами при движении в очень малых областях пространства.
6. Соотношение (20.2) проявляется при всякой попытке измерения точного положения или точного импульса частицы. Оказывается, что уточнение положения частицы сказывается на увеличении неточности в значении импульса, и наоборот. Иллюстрируем это на трех примерах.
Первый пример. Пусть движение электрона описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Электрон в таком состоянии обладает вполне определенным импульсом, но его координата совершенно не определена. Для определения х-ко-ординаты электрона на пути волны перпендикулярно к ее распространению ставится непрозрачный экран со щелью ширины d (рис. 40). Пусть координатная плоскость XY расположена в
плоскости экрана, причем ось X направлена перпендикулярно К щели. Если электрон прошел через щель, ТО в ПЛОСКОСТИ СЭ' мой щели координата х будет зафиксирована с точностью Дл ~ d. Однако в результате дифракции на щели волновая функция электрона Ч7 изменится. Она будет иметь максимумы и минимумы. Электрон же может быть обнаружен в любом месте, где У ф 0. Практически все волновое поле будет сосредоточено в пределах центрального максимума нулевого порядка. Его угловая ширина равна 20, причем d sin Ь = к. Этот центральный максимум мы приближенно можем принять за все поле, отбрасывая все его остальные части. В этом приближении после
Ах Рис. 41
Рис. 40
126
ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ ВЕЩЕСТВА
[ГЛ. III
прохождения через щель неопределенность Арх импульса электрона получится порядка Арх = р sin §. Умножая это выражение на Ах = d и принимая во внимание d sin 0 = ^ и р = h/X, получим Ajc-Apx^h, как и должно быть согласно соотношению Гейзенберга. Чем уже щель, тем точнее будет измерена координата электрона, но зато потеряется точность в значении его импульса.
Сужая щель до размеров d < X, можно сделать неопределенность координаты сколь угодно малой. Однако при d < X волновое поле за щелью перестает быть плоской однородной волной де Бройля. Получается неоднородная волна, быстро затухающая на расстоянии порядка X и меньше. В' этом случае наша оценка Ар неприменима. Однако соотношение неопределенностей, как показывает более точное исследование, остается в силе.
Второй пример (мысленный опыт Гейзенберга с микроскопом). Пусть частица находится под микроскопом (рис. 41). Для определения ее положения она освещается монохроматическим фотоном короткой длины волны X. По месту попадания фотона на фотопластинку и судят о положении частицы. При освещении пучком света изображением частицы служит дифракционная картина со светлыми и темными кольцами и светлым кружком в центре. Но с одним фотоном дифракционную картину получить нельзя. При рассеянии на электроне фотон с той или иной вероятностью может попасть в любую точку потенциально возможной дифракционной картины, где интенсивность света отлична от нуля. Практически все фотоны могут попасть только в пределы центрального кружка. Интенсивностью остальных колец можно пренебречь. Радиус центрального кружка R « « Х/$. В этом приближении положение точки попадания фотона в плоскости -изображения может быть определено с точностью порядка R. Неточность положения Ах электрона в предметной плоскости найдется из условия синусов Аббе R$ ~
— Ах sin а, т. е. X = Ах sin а. Чем меньше X, тем точнее определяется положение частицы. Но при рассеянии фотона на электроне последний испытывает отдачу, в результате чего импульс электрона получает неконтролируемое приращение Арх ~ ~(/i/^)sina. Чем меньше X, тем больше это неконтролируемое приращение. Таким образом, при одновременном измерении х и рх мы приходим к соотношению неопределенности Ах-Арх ~ ~ h.
Третий пример. Рассмотрим измерение скорости движущегося макроскопического тела по допплеровскому смещению частоты при отражении монохроматического света от этого тела.
Пусть телом служит идеально отражающее плоское зеркало, движущееся в направлении нормали к своей поверхности, а свет (фотон) падает нормально на его поверхность. Допустим,
СООТНОШЕНИЕ неопределенностей
127
что падающий фотон распространяется в направлении движения зеркала. Тогда отраженный фотон отразится в обратном направлении. На основании законов сохранения энергии и импульса 2
/кOj -f ll2inv 0 = ftto -f [І2ти2' (20.5)
tmjc -f mvо = — fico/c + mv, (20.6)
где m — масса тела, Vo и v— его скорости до и после отражения фотона, ©о и со — частоты падающего и отраженного фотонов. Переписав эти уравнения в виде
т (v- — и^) = 2Й (ш0 — со), (20.7)
mtv — v0) = (ft/c)( co-fco0), (20.8)
почленным делением находим
и-f и0 = 2с со0 —• co)/(co0-f со).
Массу зеркала т можно считать бесконечно большой по сравнению с массой фотона. Тогда
v = v0 = с — соУ((о0 -f со). (20.9)
Измерив частоты со0 и со, можно по этой формуле вычислить скорость зеркала v. Частоту со0 можно считать измеренной точно. Тогда ошибка Av в определении скорости будет определяться неточностью измерения частоты со Чтобы измерить со с точностью Дсо, для измерения требуется минимальное время At, удовлетворяющее условию Дсо-Д/ ~ 2л. На основании (20.9)
