Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
137
ионически колеблющийся с боровской частотой
®12 = Ю2 — СО, = (#2 — ',21.11)
Полная плотность вероятности р может меняться от максимального значения (|грі | -f- |я|52|)2 до минимального (|ірі| — I'M)2-Она содержит член, осциллирующий с боровской частотой соі2-Поэтому приведенное рассуждение в сочетании с классической электродинамикой наводит на мысль (но отнюдь не доказывает) , что с той же частотой должно происходить и излучение света. Действительно, если е— заряд частицы, то величина ре имеет смысл плотности вероятности электрического заряда в пространстве. Если бы она была просто плотностью заряда, а не ее вероятностью, то получился бы классический случай, в котором заряд периодически колеблется во времени. По классическим представлениям такой заряд должен излучать. Правдоподобно ожидать излучения и в квантовом случае, где плотность заряда заменяется ее вероятностью.
Правда, интерференционный член в (21.10) имеет характер незатухающей стоячей волны. Для поддержания непрерывного излучения, если оно уходит от системы, требуется подводить энергию. Но и в классической физике, например при рассмотрении излучения при незатухающих колебаниях диполя Герца, положение такое же. Мы рассчитываем поле и интенсивность излучения, отвлекаясь от того, каким механизмом поддерживается постоянство амплитуды и связанной с ней энергии колебаний.
Как и в первоначальной теории Бора, боровская частота toi2 появляется в результате квантовых переходов системы с одного энергетического уровня на другой.
§ 22. Уравнение Шредингера и квантование
1. Квантование энергии возникает потому, что на волновые функции, являющиеся решениями уравнения Шредингера (21.7), накладываются определенные естественные ограничения. При этих ограничениях уравнение (21.7) имеет решения, вообще говоря, не при всех, а только при избранных значениях параметра 8. Здесь дело обстоит аналогично тому, что имеет место в задаче о свободных колебаниях струны с закрепленными концами. Из-за закрепления концов эти колебания представляют собой стоячие волны с такими избранными частотами, что на длине струны укладывается целое число полуволн.
Естественные ограничения, накладываемые на решения уравнения Шредингера (21.7) (в несколько усиленной, но практически всегда выполняющейся форме), состоят в том, что волновая функция г|з (г) и ее первые пространственные производные должны быть конечны, однозначны и непрерывны даже в точ-
138
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАНИЕ
[ГЛ. IV
ках (а также линиях и поверхностях) разрыва потенциальной функции U(г). (Однозначность означает, что при обходе по любому замкнутому контуру функция гр(г) должна возвращаться к своему исходному значению.) Избранные значения параметра S, для которых уравнение (21.7) имеет решения, удовлетворяющие перечисленным ограничениям, называются собственными значениями величины 8 для дифференциального уравнения
(21.7), а соответствующие им решения — собственными функциями того же уравнения. Собственные значения 8 и принимаются за возможные значения энергии в стационарных состояниях. Собственные значения энергии 8 могут быть дискретными, а могут непрерывно заполнять конечный или бесконечный интервал. В первом случае говорят, что энергетический спектр дискретный, а во втором — непрерывный.
Поясним изложенное на частном случае одномерного движения частицы в потенциальном поле сил. Допустим, что частица движется вдоль оси X, а потенциальная функция U(х)
имеет вид симметричной «потенциальной ямы» (рис. 42, а) конечной глубины. Пусть U(х) максимальна при х = ±оо и принимает там одно и то же значение. Примем это значение за нуль отсчета энергии. Таким образом, предполагается, что U(х) всюду отрицательна и при х = ±оо обращается в нуль. В одномерном случае уравнение Шредингера (21.7) принимает вид
г> д) е)
Рис. 42
(22.1)
Коэффициенты этого уравнения вещественны. Поэтому оно имеет вещественные решения, которыми и можно ограничиться.
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА И КВАНТОВАНИЕ
139
Правда, всякое решение уравнения (22.1) останется таковым, если его умножить на постоянный множитель, который может быть и комплексным. Но комплексность не влияет на г|з*г1), а потому не сказывается ни на каких физических выводах теории.
2. Рассмотрим сначала случай, когда & ¦< 0. По классическим представлениям частица не может заходить в те области пространства, в которых U > &, так как разность 8 — U равна mv2/2, т. е. кинетической энергии, а она не может быть отрицательной. Частица может двигаться только между двумя точками, в которых U = 8. Достигнув одной из этих точек, частица должна повернуть обратно. Эти точки называются точками поворота. Согласно классической механике пространство вне точек поворота для частицы недостижимо. Но уравнение (22.1), если оно имеет решение, не равное тождественно нулю между точками поворота, должно и за точками поворота переходить в решение, не обращающееся тождественно в нуль. Действительно, решение уравнения (22.1), поскольку это уравнение второго порядка, однозначно определяется заданием г|з и dty/dx в какой-либо одной точке пространства. Возьмем эту точку в области за точками поворота. Если допустить, что там г|> = = dty/dx^Q, то на основании сказанного функция г|> должна тождественно обращаться в нуль во всем пространстве, в частности и между точками поворота. Из изложенного следует, что не существует решения, которое было бы отлично от нуля между точками поворота и тождественно обращалось бы в нуль за этими точками.
