Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, плотность вероятности отлична от нуля и за точками поворота. Значит, согласно квантовой механике, существует конечная вероятность обнаружения частицы и в классически недостижимой области пространства, где U > S’. Приведенное выше классическое рассуждение в квантовой механике неприменимо, поскольку в этом случае из-за принципа неопределенности теряет смысл разделение полной энергии на кинетическую и потенциальную. Состояние частицы с энергией <§ характеризуется единой волновой функцией во всем бесконечном интервале —оо < х < +°°, а не только ее частью на интервале между классическими точками поворота.
3. При + оо уравнение (22.1) асимптотически переходит в
-gf--a4 = 0, (22.2)
где при <S <. 0 а — положительная постоянная, равная a = V—2m8fti2. Последнему уравнению удовлетворяют функции С\е~ах и С2е+ои при произвольных значениях постоянных Ct
140
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАНИЕ
[ГЛ. IV
и С2. Вторая функция обращается в бесконечность при х = + оо, тогда как первая, С\е-ах, остается регулярной при всех положительных значениях х. Аналогично, при всех отрицательных значениях х остается регулярной только функция С2е+ои.
Рассмотрим теперь два решения уравнения (22.1): одно грі (я), которое при положительных х на бесконечности асимптотически переходит в Сіе~ах, другое гр2(х), которое при отрицательных х на бесконечности асимптотически переходит в С2е+ах. Искомая функция гр (лс), представляющая решение уравнения
(22.1) во всей бесконечной области —оо *< х < +°о, должна получаться сшиванием обоих решений грі (а:) и гр2(х) при х=0. При таком сшивании должны оставаться непрерывными сама функция гр(лс) и ее первая производная dty/dx. Иными словами, должны выполняться два равенства:
Ч>1 М = Ъ (X), при * = 0. (22.3)
Если фиксировать постоянную С\, то постоянной С2 можно распорядиться так, чтобы соблюдалось первое равенство. Однако второе равенство, вообще говоря, соблюдаться не будет. Если же удовлетворить второму равенству, то, вообще говоря, не будет соблюдаться первое. Обоим равенствам можно одновременно удовлетворить лишь при определенных значениях параметра S. Эти избранные значения и будут собственными значениями энергии частицы или уравнения (22.1).
Для исследования возможных собственных значений S заметим, что знаки функций d2ty/dx2 и (S — U)\р противоположны. Это непосредственно видно из уравнения (22.1). Поэтому при (S— U)\р > 0 кривая гр = гр(х) обращена выпуклостью вверх, а при (S—U)\р < 0— вниз. В точках поворота S—U = 0, а также при гр = 0 эта кривая испытывает перегиб.
4. Рассмотрим сначала случай, когда обе точки поворота совпадают между собой, т. е. когда S = Пт, где Uиин — наименьшее значение потенциальной функции U, принимаемое ею при х — 0. Тогда S — U = UM ии — U^O. Если функции грі (х) и гр2(х) выбрать положительными соответственно при х = + оо и х — —оо, то в этих точках (S— ?/)грі<0, (S—U)\р2 < 0, т. е. обе вторые производные d2ty\/dx2 и d^^/dx2 на бесконечности будут положительны. Значит, при убывании \х\ обе кривые гр = грі(х) и гр = гр2(х) начнут подниматься вверх. По мере убывания \х\ этот подъем только усилится, так как при этом величины (8—?/)грі и (S—U)\р2, оставаясь отрицательными, будут непрерывно возрастать по модулю. Значит, при убывании |jc| обе кривые гр = грі(%) и гр = гр2(л:) должны постоянно подниматься, будучи обращенными выпуклостями вниз (рис. 42,6). На кривой гр = грі(л:) первая производная, dtyi/dx отрицательна, а на кривой гр = гр2(х)—положительна. Поэтому невозможно
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА И КВАНТОВАНИЕ
141
одновременно удовлетворить обоим условиям (22.3). Действительно, если при х — 0 удовлетворяется первое условие, то второе условие удовлетворяться не может из-за различия знаков производных dtyi/'dx и d^2/dx: при сшивании ^(л:) и г|з2(л:) на кривой г): = \J>i + ij)2 появится угловая точка (рис. 42,6). Можно устранить разрыв первой производной, выбрав функции ¦фі(х) и ij)2(x) противоположных знаков (на рис. 42,6 отрицательная функция гр>2 изображена пунктиром). Но тогда в точке х = 0 окажется разрывной сама функция if> = г|>і + ij)2. Из изложенного следует, что значение 8 = ?/ыи„ не может быть собственным значением энергии.
5. Будем теперь непрерывно увеличивать параметр &, т. е.
поднимать вверх горизонтальную прямую U(x) = 8 на рис. 42, а. Тогда точки поворота А и А' начнут непрерывно раздвигаться, находясь на равных расстояниях от начала координат, в силу симметрии потенциальной ямы U=U(x). Поскольку А и А' являются точками перегиба, обе кривые "ф = "фі (jc) и ^ = ij)2(x) между ними начнут загибаться вниз. Функции -фj (х) и 'фг(х) _выберем так, чтобы соблюдалось первое условие (22.3). При небольших значениях 8 обе кривые гр = "фі (л:) и -ф = (л) при
х=0 по-прежнему будут пересекаться под некоторым, углом. Конечно, ввиду симметрии потенциальной ямы U = U (х) эти кривые зеркально симметричны относительно вертикальной оси координат. По мере увеличения параметра 8, т. е. по мере раздвигания точек поворота А и А', угол между ними уменьшается. Всегда наступит момент, когда в точке х — 0 касательная к одной, а следовательно, и к другой кривой сделается горизонтальной. Тогда обе кривые ij) = \|>i(x) и г|з = г|з2(х) плавно перейдут одна в другую (рис. 42, в). Соответствующее значение параметра 8 = 8\ и будет первым или наименьшим собственным значением энергии, В случае симметричной потенциальной ямы наименьшее собственное значение 8\ всегда существует.
