Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сивухин Д.В. -> "Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика" -> 69

Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.

Сивухин Д.В. Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика — Физматлит, 1986. — 426 c.
Скачать (прямая ссылка): obshiykursfizikit5chast1atomnayafizika1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 179 >> Следующая

где k и а определяются прежними формулами (24.6). В соответствии с этим из двух формул (24.10а) и (24.11а) надо сохранить только вторую, т. е.
U(r)
0
г
Ц
\
\
\
/
/
Рис. 47
Рис. 48
¦U0 при г < а, 0 при г > а.
(25.4)
i|) = .Bsin?r при 0 <г<+а, г|з = Се-аг при г > + а,
(25.5)
т) = — Ictgl,
(25.6)
СИСТЕМА ДВУХ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ
155
причем й и ті определяются прежними выражениями (24.12).
В случае одномерной симметричной ямы всегда существует по крайней мере одно собственное значение дискретного спектра энергии с четной волновой функцией. В случае сферически симметричной прямоугольной ямы этого может и не быть. Действительно, кривая г| = —? ctg ? первый раз пересекает горизонтальную ось координат в точке ? =л /2, т) = 0 (рис. 46,6). Из формулы (24.13) видно, что если
(я/2)2 > — 2mU0a2/h2,
т. е.
- ?/„ < я2Й2/(8та2}, (25.7)
то эта кривая нигде не пересечется с окружностью (24.13). Это значит, что при условии (25.7) в потенциальной яме не появится ни одного уровня дискретного спектра энергии. Первый уровень появляется, когда крайняя левая кривая г| = —|ctg ? на рис. 46, б начинает пересекаться с соответствующей окружностью. Это происходит в точке g = я/2, г] = 0. Из второго уравнения (24.6) следует, что в этом случае 3’ = 0, т. е. при возрастании глубины ямы первый уровень появляется на границе дискретного и непрерывного спектров. Расстояние этого уровня от дна потенциальной ямы равно —U0 = Й2я2/ (8пга2), как это легко получить из первой формулы' (24.6). В рассматриваемом случае весь дискретный спектр состоит из одного только уровня нулевой энергии.
§ 26. Система двух взаимодействующих частиц
1. До сих пор мы рассматривали движение одной частицы в заданном силовом поле. Более реальным является случай двух частиц, взаимодействующих между собой. В классической механике в этом случае движение распадается на движение системы как целого в отсутствие внешних сил (движение центра масс) и на движение одной частицы относительно другой под действием сил взаимодействия между ними (относительное движение). Последнее формально сводится к движению одной частицы с заменой ее истинной массы на приведенную массу
m = mxmj(m\ + m2), (26.1)
где m.\ и ш2 — массы первой и второй частиц. Совершенно так же обстоит дело и в квантовой механике при рассмотрении стационарных состояний.
Исходным служит уравнение Шредингера для стационарных состояний двух частиц. Оно является естественным обобщением уравнения (21.7) и имеет вид
[“ V> ~ 1^7 у2 + и К - г2)] (26.2)
156 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАНИЕ ГГЛ. fV
Здесь
V, =“^2 +^2 +^Т- Vo = ^T + ^T + ^Т ¦
дхі ду{ дгі “ дх2 д(/2 dz2
а через Г\ (Х{, у\, Z\) и г2 (лт2, і/г, ^г) обозначены координаты рассматриваемых частиц. Потенциальная функция взаимодействия U(гг — г2) зависит только от разностей координат первой и второй частиц. Обычно (в случае центральных сил) она является функцией только расстояния между ними г = |ri — г2|.
2. Преобразуем уравнение (26.2) к новым независимым переменным: координатам центра масс
R (X, Y, Z) = Ш1Г1 + Ш2Гг (26.3)
' ГП\ + v 7
и координатам первой частицы относительно второй
г {х, у, z) = r{ — г2. (26.4)
Величина о|) теперь является функцией шести переменных: \|з = = ^(*"1, Н° мы Для сокращения выкладок (без нарушения общности) произведем их только для функции гр (JCi, лг2) двух переменных xi и Х2 и соответственно для г[)(Х, л:), где
v Ш\Х\ + т2х2 ____ __
А —--------, ? — ? Хп.
гп\ + т2 *
На основании инвариантности полного дифференциала
%.<lt,+ »Ldx,-gr*x+%<b.
Подставим в правую часть
m, dx\ + mi dx-2 , , ,
dX =—!—!—!i— -----. dx = dxl — dxn.
rri\ + m? і j
Сравнением коэффициентов получаем
di|) _ / ту д_ . д \ _ / т2 д д \
дх\ V т\ + т2 -5Х дх ) дх2 V ті + т2 дХ дх )
Мы представили результат дифференцирования в операторной форме. Это позволяет сразу написать выражения для вторых производных:
/ т\ д | д \2 .
СИСТЕМА ДВУХ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ
157
Поделив эти соотношения соответственно на т\ и т% и сложив, получим
1 1 д2ф _____ 1 д2ф / 1 1 \ д2,Ф
т1 дх2 т2 дх\ ml + т2 OX2 тх т2 ) дх2
Теперь уже легко перейти к трем переменным, а затем представить уравнение Шредингера в виде
[-inrU)Vi-SV-+y(rl-ri)j* = #*, (26.5)
где V# и V2 — операторы Лапласа соответственно в переменных X, Y, Z и х, у, г.
3. Оператор, действующий на гр в левой части (26.5), распадается на сумму двух независимых членов, один из которых зависит только от R, а другой только от г = Г\ — г2. В соответствии с этим решение уравнения (26.5) сводится к решению двух уравнений:
-^r™-v>(R)-#,*(Ri, (26.6)
—Ш-^<г) + и(г)Ъ(г) = &Мг), (26.7)
где <$R и <§Т — постоянные, удовлетворяющие условию <$r + (%г = $. Из них первое описывает свободное движение центра масс системы — воображаемой частицы с массой ni\ + т2. Второе же описывает относительное движение первой частицы относительно второй, в нем истинная масса частицы заменена приведенной массой m = niim2/(ni\ + m2). В самом деле, произведение гр (г) г|з (R), в котором переменным является R, а г рассматривается как параметр, т. е. в сущности как постоянная, описывает то же движение, центра масс, что и функция ty(R). Аналогично, то же произведение гр (г)тр (/?) будет описывать относительное движение, если за переменную принять г, a R рассматривать как параметр. Если теперь (25.6) умножить на \|з(г), а (26.7) на ty(R) и оба уравнения сложить почленно, то мы получим, что функция —¦ гр (г) гр (R) будет общим решением уравнения (26.5). Таким образом, общая волновая функция, описывающая независимые движения центра масс и относительное движение частиц, распадается на произведение двух функций пт различных переменных: гр(г) и ty(R). При этом, как и в классической механике, полная энергия распадается на сумму энергии, связанной с движением центра масс системы, и энергии относительного движения частиц.
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed