Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
(24.10а) и (24.11а) дадут возможные значения | и т], а следо-
152
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАНИЕ
[ГЛ. IV
вательно, k и а. После этого по формулам (24.6) легко найти значения <%. Число уровней всегда конечно и определяется глубиной — Uо и шириной 2а потенциальной ямы. Например, если радиус окружности равен 7, то получается пять уровней. Точкам пересечения /, 3, 5 соответствуют четные, а точкам 2, 4 — нечетные волновые функции. Если О —U0а2 ^ h2n2/ (8т), то имеется только одна точка пересечения, которой соответствует четная волновая функция. Так как величина k существенно отлична от нуля, то из (24.6) следует, что <? > ІІ0. Все уровни
Рис. 46
энергии, в том числе и самый низший, лежат выше дна потенциальной ямы. Опять наше решение приводит к необходимости существования нулевой энергии.
4. Остается рассмотреть случай, когда 8 > 0. В' этом случае величина а чисто мнимая: а = ф. Вместо (24.8) получается уравнение
-0+РЧ = О. -24.8а)
Его решения:
гр = A' cos fix + В' sin при л: > + а,
гр = A" cos fix + В" sin fix при х < — а.
Оба решения остаются конечными при любых значениях х, в частности сколь угодно больших по абсолютной величине. Они содержат четыре произвольных постоянных А', В', А", В". Эти решения надо сшить с решением внутри интервала —a <i х <i <-|-а, которое представляется формулой (24.9), чтобы при этом оставались непрерывными гр и dty/dx на обеих стенках потенциальной ямы. Таким путем получаются четыре линейных уравнения относительно коэффициентов А', В', А", В", содержащие А и В в качестве параметров. Этого как раз достаточно,
чтобы выразить эти неизвестные коэффициенты через А и В. При этом А и В могут принимать любые значения. Отсюда еле-
СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОЕ СИЛОВОЕ ПОЛЕ-
153
дует, что при е? > О энергия не квантуется — энергетический спектр непрерывен. Волновая функция не стремится к нулю при лг-»-±оо, т. е. движение частицы инфинитно, как того и требует общая теория.
§ 25. Квантование в случае сферически симметричного силового ПОЛЯ
1. В атомной физике более важен случай, когда потенциальная функция U не одномерна, а сферически симметрична относительно некоторого силового центра. Примером может служить положительно заряженное атомное ядро, в электрическом поле которого движется электрон. Силовой центр (например, атомное ядро) мы сначала будем считать бесконечно тяжелым и неподвижным. Начало координат поместим в силовом центре. Обозначим через г радиус-вектор, проведенный из начала координат к рассматриваемой частице. Тогда в случае сферической симметрии U — U(r), где г = |г|. В этом случае волновая функция гр, т. е. решение уравнения Шредингера (21.7), может зависеть не только от г, но и от угловых переменных, определяющих направление радиус-вектора г. Однако мы ограничимся здесь только сферически симметричными решениями, т. е. решениями, зависящими только от | г |; ,ф = 'ф(г). Тогда уравнение Шредингера для стационарных состояний (21.7) запишется в виде
+ (25-1)
Это уравнение отличается от исследованного выше одномерного уравнения (22.1) наличием дополнительного члена 2 rfif
— Однако подстановкой
¦ф = Х/г (25.2)
оно приводится к виду
-ШЧ? + №-иМ* = °- <25-3)
Это уравнение математически тождественно с уравнением
(22.1) для одномерного случая. Поэтому все результаты, полученные в § 22, сохраняют силу для вспомогательной функции
%(г). Единственное отличие состоит в том, что при г — О функция % должна быть не только конечной, но и обращаться в нуль, так как в противном случае функция гр = %/г обращалась бы в бесконечность при г — 0. Поэтому половина решений, полученных в § 22, должна быть исключена. Надо оставить только решения, изображающиеся кривыми, проходящими через начало координат (рис. 47). При <§ < О эти решения для положительных г представлены сплошными кривыми, а их продолжения
154
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАНИЕ
|ГЛ. IV
з область отрицательных г—пунктирными кривыми. Разумеется, в нашей задаче отрицательные г не имеют физического смысла и введены формально математически, чтобы получилась аналогия с одномерным случаем. Поэтому остается справедливой доказанная в § 22 теорема, что число узлов функции гр(г) (г существенно положительно) на единицу меньше номера соответствующего собственного значения. При этом точка г — 0 за узел не считается. Рис. 47 иллюстрирует это утверждение.
2, Частным случаем сферически симметричного силового поля является трехмерная сферически симметричная потенциальная яма, сечение которой плоскостью, проходящей через силовой центр, имеет прямоугольную форму (рис. 48). Так называется трехмерная потенциальная функция U, зависящая только от расстояния г до силового центра, которая определяется выражениями
Из изложенного выше следует, что в этом случае сферически симметричные волновые функции т|з(г) и значения <§ в стационарных состояниях находятся так же, как и в случае одномерной прямоугольной потенциальной ямы (см. § 24). Различие состоит только в том, что теперь четные решения уравнения
(25.3) (если решения формально продолжить в сторону отрицательных г) должны быть исключены. Иными словами, при '? < 0 остаются только решения
