Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
fill ҐҐІ2 ?
образом, при относительном движении все происходит так, как если бы масса молекулы уменьшилась в два раза. Так как силы F\, Ft, ... и моменты времени их действия остались прежними, то в эти моменты относительные ускорения молекулы А будут вдвое превосходить ее же ускорения в неподвижной системе отсчета. Отсюда непосредственно следует, .что распределение относительных скоростей молекулы будет максвелловским. А так как эффективная масса молекулы в относительном движении вдвое меньше т, то все средние скорости окажутся больше соответствующих абсолютных скоростей в [/ 2 раз. В частности, ^0711 = ^2 0, и формулы (86.5) и (86.6) переходят в (86.3) и (86.4).
5. Рассмотрим теперь более важный случай, когда сталкивающиеся молекулы различны. Пусть одна молекула сорта 1 с массой іщ и радиусом движется в среде молекул сорта 2 с массами пи, радиусами г., и концентрацией п2. Если бы молекулы сорта 2 были неподвижны, то *" остались бы справедливыми прежние формулы (86.1) и (86.2). В них надо было бы только заменить г на г,2, п — на n2,v — на vx, а на о12 = л(гх + г„)2. Сферой ограждения молекулы 1 теперь является концентрическая с ней сфера радиуса d. = Aj + г2. Учтем теперь максвелловское распределение скоростей, используя формулы (86.5) и (86.6). На основании изложенного выше средняя относительная скорость wOTh и средняя скорость молекулы 1 ©! обратно пропорциональны квадратным корням ]/|i и V^i< т. е.
— ~я /~ ttli _ ~ш /~ ІТІл ttUy
1г=1«у
С учетом соотношения mjvj = m2v'i этот результат можно представить в более симметричной форме
woth = V vi + vi' (86.7)
Для среднего числа столкновений гп, претерпеваемых молекулой сорта 1 с молекулами сорта 2 в единицу времени, получаем
~ 1 12. Г <’ 1 1 ::» (86.8)
а для средней длины свободного пробега молекулы сорта 1
х1==„—----------------------------------------------------7=- (86-9)
"*(,и У 1 + \t) "2°12 V 1 + т2
При тх = тг эти выражения переходят в максвелловские формулы (86.3) и (86.4).
6. Наконец, рассмотрим случай смеси двух различных газов. Пусть гх и г2 означают радиусы молекул этих газов, а пх и п2 — их концентрации. Теперь движущаяся молекула может сталкиваться не только с молекулами, себе подобными, но и с молекулами другого типа. В соответствии с этим с ней следует связать две сферы
СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
331
ограждения в зависимости от того, с молекулами какого типа она сталкивается. Введем четыре величины
о„ = л (2 а,)- = 4л/-;, 012 о21 = я (лх + г „у, <т22=л (2 г2)2 = 4лгЗ.
Для чисел столкновений в единицу времени молекулы первого и молекулы второго газов получаем соответственно (без учета максвелловского распределения скоростей):
%1 = (И1°11 “Ь П2®1ъ) &1, ?2= («іОгІ -\-tl2O22) V%, (86.10)
а для средних длин свободного пробега
1 1
thPl2’ %021 + n2CT22
ЗАДАЧ И
(86.11)
1. Газ состоит из молекул с массами тх и тг, концентрации которых равны соответственно П] и Пп. Найти выражение для средней длины свободного пробега молекулы каждого газа с учетом максвелловского распределения скоростей.
Ответ.
Я.і =
/«!
«2
X,-
(86.12)
Я1О2X
1 + 2 + rt2a28 V 2 i/tj
2. Для приближенного вычисления средней длины свободного пробега молекулы Клаузиус предположил, что все молекулы газа движутся с одинаковыми скоростями, направления которых распределены в пространстве изотропно. Получить выражение для Я в этом предположении.
Решение. Найдем среднюю скорость молекул относительно одной из них (например, правой). Относительная скорость молекулы, движущейся под углом 'if к скорости первой молекулы определяется выражением
¦&
t'orii = 2о sin у
(рис. 76). Число молекул, скорости которых образуют с направлением t'j углы между в и Н dO, дается формулой (75.4). Используя ее, получаем
sin -g- sin ¦& d& = -g- v.
После этого по формуле (86.6) находим
я=1-!.
4 па
(86.13)
3. Найти выражение для среднего полного числа столкновений v молекул газа в единице объема в единицу времени.
332
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
Решение. Число столкновений одной молекулы с остальными дается выражением (86.5). Для п молекул его надо умножить иа п и разделить на два. Деление на два необходимо потому, что при нашем подсчете каждая молекула учитывается дважды: один раз как ударяющая, другой — как ударяемая. В результате получаем
v=— = — и%оотн = -!-= rPav. (86.14)
2 2 I 2
4. Газ состоит из смеси двух газов с концентрациями п{ и п2. Найти выражение для среднего полного числа столкновений v12 молекул одного газа с молекулами другого газа в единице объема в единицу времени.
Ответ.
Yl2= nlti2Oiiz>olu = j/~ l + Y f,i'havivi = j/r 1+t~iri1n2oI2v2. (86.15)
§ 87. Эффективное сечение
1. Площадь сечения сферы ограждения молекулы по большому кругу называется эффективным сечением молекулы, точнее, газокинетическим эффективным сечением молекулы при рассеянии ее на других молекулах. Если рассеяние происходит на таких же молекулах, то эффективное сечение равно о = nd2, где d — диаметр молекулы. Если же молекула радиуса гх рассеивается на молекулах с радиусом г», то эффективное сечение будет о = о12 = л (г1 + п,)2.
