Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
ЗАДАЧА
Найти статистические веса ферми- и бозе-газов при абсолютном нуле температур. Убедиться, что эти газы удовлетворяют теореме Нернста.
Решение. Пусть 7' — 0. В случае ферми-газа можно указать энергетический уровень (с номером і = я), обладающий следующими свойствами. Энергетические уровни с номерами і < п заполнены целиком, уровни с номерами і > п
§ 85]
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ЭЙНШТЕЙНА
321
свободны. Уровень с номером і — и заполнен частично (или в частном случае полностью). Для заполненных уровней Ni = Z,-, для незаполненных Nt = 0.
В обоих случаях все множители в произведении (82.3), за исключением п-го,
равны единице. Множитель с номером п отличен от единицы, если соответствующий ему уровень заполнен частично. Итак,
С*-Д=;Ujrho-r <84-3>
Аналогично для бозе-газа
_ (Zj + iV — 1)! .
Сб.-э = Ж(2Т^Т)Г- ( }
Если изменяется объем газа, то меняется энергия энергетических уровней. Однако числа Z1? Zn, Nrl, а также общее число частиц N остаются неизменными. Остаются неизменными статистические веса и энтропии газов. К тому же заключению можно прийти непосредственно на основании формул (82.3) и (82.4),не преобразуя их к виду (84.3) и (84.4). Квантовый (но не классический) больцмановский газ также удовлетворяет теореме Нернста. Однако это замечание имеет чисто формальный характер, так как при абсолютном нуле температур статистика Больцмана неприменима.
§ 85. Квантовая теория теплоемкостей Эйнштейна
1. Квантовая теория в принципе устранила трудности, на которые
натолкнулась классическая теория в вопросе о теплоемкости тел. Качественно этот вопрос уже был рассмотрен в §69. Теперь рассмотрим его количественно. Будем представлять тело как систему N молекул, слабо взаимодействующих друг с другом. Применим к ней закон распределения Больцмана (81.13), предполагая, что энергетические уровни дискретны. Средняя энергия, приходящаяся на одну молекулу в состоянии термодинамического равновесия, определяется выражением ,
С учетом формулы (81.13) и условия нормировки v N. = = N0 21 gfi~aKt = N получим
г, ~аєі
е = ?М*1_2
п —ае> ’
ИЛИ і J7 л
E = = (85.1)
где введено обозначение
2=Её‘е~а?‘=Её‘е~^- (85.2)
Выражение (85.2) называется статистической суммой или суммой состояний и играет важную роль в статистических исследованиях.
2. В качестве примера рассмотрим систему одномерных гармонических осцилляторов. Уровни энергии гармонического осциллятора простые и определяются формулой
^ = (* + V8)Av (85.3)
11 д. в. Сивухин, т, II
322
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
(см. § 69). Для суммы состояний получаем
ahv
1__e-ahv>
‘=0
а для средней энергии осциллятора
hv
(85.4)
В последнем слагаемом мы заменили а на 11(к7').
Слагаемое hv/2 есть ну левая энергия гармонического осциллятора. Она не зависит от температуры и не имеет отношения к тепловому движению. В теории теплоемкости тел ее можно опустить. Если это сделать, то получится _ hv
Эта формула впервые была получена Планком в 1900 г. в его исследованиях по теории теплового излучения. Если hv kT, что имеет
Такой результат довольно очевиден, так как при kT hv возбуждено очень много энергетических уровней, и их дискретность становится несущественной.
3. Формула (85.5) была положена Эйнштейном в основу квантовой теории теплоемкости твердых тел. Он пользовался той же моделью твердого тела, какая применялась в классической теории. Атомы кристаллической решетки рассматривались как гармонические осцилляторы, совершающие тепловые колебания около положений равновесия с одной и той же частотой v. Осцилляторы брались трехмерными, т. е. обладали тремя степенями свободы. На каждую степень свободы приходится средняя энергия тепловых колебаний Е, а на один атом Зе. Внутренняя энергия одного моля определяется выра-
/IV
/Г-[
(85.5)
место при высоких температурах, то екТ ^ 1 +^y. жении (85.5) переходит в классическую формулу
В этом прибли-
Ъ = кТ.
(85.6)
жением
(85.7)
где N — число Авогадро. Отсюда получаем для атомной теплоемкости кристаллической решетки твердых тел
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ЭЙНШТЕЙНА
323
Это и есть формула Эйнштейна. При высоких температурах, когда h^j, 1, она переходит в классическую формулу
CV=3R.
В другом предельном случае низких температур, когда можно пренебречь единицей в знаменателе и получить
Cv=3R(?,)*Г&. (85.9)
При Т -*¦ 0 выражения (85.8) и (85.9) стремятся к нулю, как этого требует тепловая теорема Нернста.
4. Впрочем согласие с опытом носит только качественный характер. По формулам (84.8) и (84.9) при Т -*• 0 теплоемкость Cv слишком быстро стремится к нулю — приблизительно экспоненциально. Опыт показывает, что в действительности приближение теплоемкости к нулю идет по степенному закону, т. е. более медленно. При других температурах формула Эйнштейна также находится только в качественном, но не в количественном согласии с опытом. Однако эти расхождения связаны не с существом квантовой теории, а с упрощением расчета, в котором предполагается, что все гармонические осцилляторы колеблются с одной и той же частотой. На самом деле кристаллическую решетку следует рассматривать как связанную систему взаимодействующих частиц. Малые колебания такой системы получаются в результате наложения многих гармонических колебаний с различными частотами. Число частот очень велико — порядка числа степеней свободы системы. При вычислении теплоемкости тело можно рассматривать как систему гармонических осцилляторов, но с различными частотами. Задача сводится к вычислению этих частот, т. е. к отысканию так называемого спектра частот. На это было указано уже самим Эйнштейном.
