Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
G+ = \g(x)dN.
Так как на длине свободного пробега скорость и меняется мало, то функцию g (х) можно разложить по степеням х, оборвав это разложение на линейном члене, т. е. g(x)=g0-\-x(^( В этом приближении
СО х
G+= go J dN + W.% \ elxdx-
о
Вычислив интегралы, найдем
G+==J nvgo + j- wbfc • (89-!)
Заметим, что это выражение можно записать в виде G,. = х/0 nvg(K). Отсюда видно, что при вычислении G+ можно рассуждать так, как если бы все молекулы, летящие к площадке S, претерпевали последние столкновения на расстоянии К от этой площадки и далее двигались к ней без столкновений. Можно пользоваться доказанным положением для сокращения изложения при изучении и других явлений переноса. Отметим только, что концентрация п может меняться в пространстве. Однако это обстоятельство никак не отразится на справедливости формулы (89.1). Действительно, из вывода ясно, что под п следует понимать значение концентрации на самой площадке S, независимо от того, рассматривается ли верхний или нижний пучки молекул, участвующих в переносе величины g. Было бы грубой ошибкой считать, что концентрацию п надо брать на расстоянии ±Я от площадки 5, где молекулы претерпели «последние столкновения». Такой способ расчета должен применяться только к переносимой величине g, но не к концентрации п.
По аналогии с (89.1) можно утверждать, что молекулы, летящие снизу вверх, переносят в том же направлении количество движения
G- = nvgo - -g nvK fx . (89.1 a)
Полное количество движения, ежесекундно переносимое через
342
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
площадку S в положительном направлении оси X (снизу вверх), найдется вычитанием (89.1) из (89.1а). Оно равно
с~—'і"лї--іптАь- <89'2>
Этот перенос проявляется в том, что вдоль плоскости АВ действует вязкое касательное напряжение
= т(89.3)
где 1) = 1/3 nmvk. (89.4)
Мы получили не только ньютоновский закон внутреннего трения
(89.3), но и нашли выражение для коэффициента внутреннего трения т).
3. Но всякий тензор напряжений должен быть симметричным. В противном случае нарушался бы закон сохранения момента количества движения (см. т. I, § 74). Поэтому вязкие напряжения должны действовать не только в плоскостях течения газа, но и в плоскостях, перпендикулярным к ним. Необходимо поэтому выяснить, как возникают эти напряжения, и убедиться, что они удовлетворяют условию симметрии тху — тух. Ориентируем с этой целью бесконечно малую площадку dS перпендикулярно к направлению течения газа (рис. 83). Таким образом, по-прежнему, предполагается, что газ течет параллельно оси Y и рассматриваются группы молекул, тепловые скорости которых параллельны оси X. Из-за наличия молекулярного течения, молекулы имеют боковую составляющую скорости и(х). Благодаря этому в рассматриваемом случае и появляется поток молекул, пронизывающий площадку dS. Рассмотрим пучок молекул, приходящих сверху. На основании доказанного выше можно рассуждать так, как если бы все молекулы пучка совершили последние столкновения на расстоянии Я от площадки dS (измеренном вдоль оси X). Количество таких молекул, пронизывающих площадку dS в единицу времени, равно 1/6 nu(K)dS. Переносимое ими количество движения будет dG+ = = г1в mvnu (k) dS и направлено вниз. Поток молекул, приходящих снизу, будет меньше, а именно 1/впи (-Ц dS. Связанный с ними поток количества движения равен dG_ = 1/0 mvtiu (— X) dS и направлен вверх. Разность этих двух потоков dG = dG_— dG.=
1 , du
= —3-mvnKj^ даст полный поток количества движения, переносимый через площадку dS вверх в единицу времени. Он проявляется в появлении касательного напряжения тух = -g- mnvk ~, которое действует в плоскостях, перпендикулярных к направлению
ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ГАЗОВ
343
X у
&J/
~/d&
S
течения газа. Таким образом, мы выяснили происхождение «поперечных» касательных напряжений и доказали, что тху = гух.
4. Можно было бы усовершенствовать рассуждения, не прибегая к искусст-
венному разделению молекул на шесть взаимно перпендикулярных потоков. Будем считать сначала, что скорости молекул одинаковы по величине, но распределены по направлениям изотропно. Рассчитаем касательное напряжение хху, действующее в плоскостях, параллельных слоям текущего газа. Расчет касательных напряжений в перпендикулярных плоскостях ТуХ производится аналогично. Число молекул в единице объема, скорости которых направлены под углами между и О + Л к нормали к площадке S (рис. 84), дается выражением (75.4), т. е. равно 1/sn sin ftdft. При подсчете переносимого ими количества движения можно рассуждать так, как если бы все рис g4
они претерпели последнее столкновение на расстоянии к от
площадки, если это расстояние измерять в направлении
движения молекулы, или на расстоянии к cosft, если его измерять вдоль оси X.
Рассматриваемые молекулы переносят сверху вниз количество движения
dG+= П~ sin О dftg (к cos ft) cos О = ~ gn sin ft cos ft dx)-j--§ cos2 ft sin ft dft.
Zj Z Z (XX
Полное количество движения, переносимое сверху вниз, найдется интегрированием этого выражения по ft в пределах от ft = 0 до ft = я/2. Оно равно
