Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
максимального сближения с молекулой А, а ц — приведенная масса. Введем кинетическую энергию относительного движения еотн = 1/оЦУо- Тогда П(/отн " I" А), или
О = ао f1 + \ •
\ еотн/
Эта формула, как ясно из ее вывода, применима в тех случаях, когда имеется всего одна пара взаимодействующих молекул А и В. Применять ее к молекулам газа можно только при условии, когда взаимодействия в газе могут рассматриваться как парные. В этом приближении учитываются силы притяжения, действующие на молекулу только со стороны одной молекулы, достаточно сблизившейся с рассматриваемой. Действия всех остальных молекул не учитываются. Так можно поступать, когда газ достаточно разрежен, а молекулярные силы притяжения убывают с увеличением расстояния между взаимодействующими молекулами достаточно быстро. Случаи, когда в разреженном газе сближаются и начинают взаимодействовать три и больше молекулы, маловероятны и по этой причине не принимаются во внимание.
В случае газа величина еотн может принимать всевозможные значения при переходе от одной пары взаимодействующих молекул к другим. Поэтому целесообразно ввести некоторое среднее эффективное сечение молекулы, усреднив 1/е0тн по всем относительным скоростям. Выполнив это и обозначая усредненное эффективное сечение прежней буквой с, очевидно, придем к формуле вида
o = c0(l + ?), (87.2)
где S — новая постоянная, называемая постоянной Сёзерленда. Она имеет размерность температуры. Формула (87.2) также называется формулой Сёзерленда.
ЭФФЕКТИВНОЕ СЕЧЕНИЕ
335
4. Если эффективное сечениеосущественнозависитот относительной скорости сталкивающихся частиц, то формулы (86.14) и (86.15) следует писать в виде
v=yn2<ay0IH>, (87.3)
va = n1na(av„H), (87.4)
причем усреднение должно быть произведено по всему спектру относительных скоростей частиц газа, в частности по максвелловскому распределению, если таковое установилось. Формулы
(87.3) и (87.4) применяются при расчете скоростей химических и термоядерных реакций. В этих случаях а очень сильно зависит от t»OTII. (Для воспламенения горючей смеси надо нагреть ее до некоторой минимальной температуры!) Формула (87.3) дает среднее число реакций в единице объема в единицу времени, когда все реагирующие частицы одинаковы, а формула (87.4) — когда реакции происходят между разными частицами. Если в каждой реакции выделяется энергия Е, то, очевидно, энергетическая мощность «реактора», отнесенная к единице объема, будет
P=vE. (87.5)
ЗАДАЧА
Показать, что в системе центра масс рассеяние шаров при упругих столкновениях сферически симметрично.
Решение. Пусть г>! — скорость первого, а — скорость второго шаров (рис. 78). В системе центра масс
ml®l + '«2®2 = °-
Прн столкновении шары в этой системе обме- рис 7g
ниваются нормальными компонентами импульсов, тогда как касательные компоненты их
остаются неизменными. Отсюда следует, что скорости шаров в системе центра масс не изменяются по величине, а только поворачиваются на один и тот же угол О (угол рассеяния). Пусть a — угол, который образовывали в момент удара начальные скорости шаров с линией центров. Тогда, как видно из
зт О
рисунка, 2а + # = я, т. е. а = -^-^. Прицельное расстояние fc=dsina =
О
= d cos -g -. Пусть а
и b -\- db. Тогда da = dQ = 2я sin г'Мг)' равна
2 2
шР, а da = 2nbdb — площадь кольца с радиусами Ь 1/2лd2 sin OfNh Вероятность рассеяния в телесный угол
da
а
dQ 4л 1
т. е. пропорциональна величине dQ. Коэффициент пропорциональности 1/4л не зависит от ¦&. А это н значит, что рассеяние сферически симметрично.
336
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ
[ГЛ, VII
а?
§ 88. Распределение молекул по длинам свободного пробега
1. Допустим, что в газе распространяется параллельный пучок молекул. Это может быть внешний пучок, состоящий из молекул другого газа. Но пучок может состоять и из молекул того же газа. Можно представить себе, например, что в какой-то момент времени в газе отмечены молекулы с определенным направлением скорости. Пусть J„ — интенсивность пучка, когда он пересекает плоскость АВ, перпендикулярную к нему (рис. 79). Найдем интенсивность J того
же пучка на расстоянии х от плоскости В АВ. Возьмем бесконечно тонкий слой
газа с толщиной dx и площадью поперечного сечения 5=1. Число молекул газа в нем равно nSdx = ndx. Согласно определению эффективного сечения (87.1)
t/x среднее число частиц, выбывающих из г*~ пучка из-за столкновений с одной моле-Рис. 79. кулой газа, равно Jo, а из-за столкно-
j вений с п dx молекулами dN = Jan dx =
= у dx. На такую величину уменьшится интенсивность пучка после
прохождения слоя dx, а потому
dJ = — j dx. (88.1)
Интегрирование этого выражения дает
J = (88.2)
Из-за рассеяния интенсивность пучка убывает экспоненциально. В связи с этим величину 1 jK называют коэффициентом рассеяния. Согласно формуле (88.1) величина dx/% определяет вероятность рассеяния на пути dx, а 1(7. — вероятность рассеяния на единице длины.
Формуле (88.2) можно также дать следующее толкование. Если Nn — число частиц, прошедших через площадку АВ, то число частиц, прошедших без столкновения расстояние х, определяется выражением N = N&-*!*¦. (88_3)
