Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Задача о спектре частот кристаллической решетки твердого тела рассматривалась Дебаем (1884—1966), а затем Борном (1882—1971) и Карманом (1881—1963). Борн и Карман подошли к решению задачи с последовательно атомистической точки зрения. Это очень трудно. Дебай сильно упростил задачу. При низких температурах основной вклад в теплоемкость вносят низкочастотные колебания, которым соответствуют малые кванты энергии. Практически только такие низкочастотные тепловые колебания и возбуждены при низких температурах. Колебания с более высокими частотами, которым соответствуют большие кванты энергии, практически не возбуждены. Но низкочастотный спектр тепловых колебаний твердого тела может быть с достаточной точностью рассчитан методами механики сплошной среды, отвлекаясь от атомистической структуры тела. Тогда вычисления становятся довольно простыми. Таким путем
324
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
Дебай построил простую теорию теплоемкости твердых тел, особенно хорошо согласующуюся с опытом при низких температурах. Согласно этой теории вблизи абсолютного нуля теплоемкость кристаллической решетки твердого тела пропорциональна кубу абсолютной температуры. Этот результат называется законом кубов Дебая. Мы не можем углубляться здесь в дальнейшее рассмотрение этих вопросов.
Теория Эйнштейна, разумеется, применима и к колебательной теплоемкости двухатомных или многоатомных газов. Совершенно аналогично может быть построена и теория вращательной теплоемкости. Вычисления здесь несколько сложнее из-за более сложной структуры энергетического спектра.
5. В металлах, помимо кристаллической решетки, построенной из ионов, имеются еще свободные электроны. В простейшей модели их рассматривают как идеальный электронный газ. Дело в том, что электрические силы притяжения, действующие на электроны со стороны положительно заряженных ионов, в среднем компенсируются силами отталкивания, действующими со стороны самих электронов. В этой модели вся энергия электронного газа только кинетическая. Поэтому для него применимо уравнение кинетической теории газов (59.8), т. е.
PV = 2/3Е. (85.10)
Но, как мы уже указывали в § 69, электроны практически не вносят никакого вклада в теплоемкость. Формальное объяснение этого было уже дано в § 84 с помощью теоремы Нернста. Приведем теперь более подробное молекулярно-кинетическое (точнее, статистическое) объяснение. Электронный газ в металлах всегда вырожден, так как температуры вырождения для всех металлов составляют десятки тысяч градусов (см. § 71). При абсолютном нуле распределение электронов по квантовым состояниям представляется прямоугольником (см. рис. 73, б). Электроны совершают весьма интенсивное квантованное движение, но совершенно не участвуют в беспорядочном тепловом движении. Энергия этого квантованного движения Е, и давление Р определяются только концентрацией электронов. Это приближенно справедливо и в том случае, когда температура Т отлична от нуля, так как для подавляющего большинства электронов распределение носит тот же характер, что и на рис. 73, а. Следовательно, эти электроны по-прежнему не участвуют в тепловом движении и не влияют на теплоемкость. «Прямоугольное» распределение электронов нарушается только внутри очень тонкого энергетического слоя вблизи границы є = (л. Толщина этого слоя порядка энергии теплового движения kT. Только эти приграничные электроны и участвуют в тепловом движении. Они-то и вносят дополнительный вклад в энергию Е и давление Р, зависящий от температуры. За счет этих электронов и появляется теплоемкость
§ 85] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ЭЙНШТЕЙНА 325
электронного газа. Но так как пограничных электронов очень мало, то этот вклад также мал. Расчет показывает, что теплоемкость электронного газа линейно зависит от температуры, т. е. имеет вид
Съя = уТ,
где v — постоянная.
Аналогично можно показать, что и теплоемкость бозе-газа в состоянии вырождения мала и стремится к нулю при Т -> 0. Особенность в этом случае состоит в том, что при Т = 0 все частицы газа накапливаются на самом низком уровне с энергией, равной нулю. Поэтому при Т = 0 не только кинетическая энергия, но и давление бозе-газа обращаются в нуль.
ГЛАВА VII ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ
* #
§ 86. Средняя длина свободного пробега
1. Средняя скорость теплового движения газовых молекул определяется формулой (73.6). Уже при комнатной температуре она порядка скорости ружейной пули. Например, при О °С для молекул водорода, азота и кислорода величина v равна соответственно 1700 м/с, 455 м/с и 425 м/с. На ранней стадии развития кинетической теории газов столь большие значення скоростей молекул некоторым физикам казались невозможными. Если скорости молекул действительно так велики, — говорили они, — то запах пахучего вещества должен был бы распространяться от одного конца комнаты к другому практически мгновенно. На самом деле при отсутствии конвективных потоков воздуха время распространения запаха на такие расстояния может составлять многие минуты и даже часы. Распространение запаха осуществляется посредством медленного процесса диффузии.