Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
z=ncv. (86.1)
Путь, пройденный молекулой А за единицу времени, равен и. Разделив его на среднее число столкновений г, найдем среднюю длину свободного пробега молекулы:
К = ~. (86.2)
па ' ’
Из вывода следует, что при получении формул (86.1) и (86.2) можно рассуждать так, как если бы все молекулы, с которыми сталкивается молекула Л, были точечными, а радиус молекулы А увеличен вдвое, т. е. молекула А заменена ее сферой ограждения. Такая замена может рассматриваться как вычислительный прием для учета конечных размеров молекул, сталкивающихся с молекулой А. Этот прием будет использован в следующем параграфе при введении понятия эффективного сечения.
Конечно, формулы (86.1) и (86.2) не точны, поскольку в основу их вывода положено предположение, что движется только одна молекула, а все остальные неподвижны. Строгий расчет был дан Максвеллом с учетом максвелловского распределения молекул по скоростям. Максвелл получил:
z=yr2nov= l,41nov, (86.3)
1 - 1 -0,707 (86.4)
V2
па па
Выражения (86.3) и (86.4) отличаются от приближенных формул
(86.1) и (86.2) только численными коэффициентами, близкими к единице. Это несущественно во всех расчетах, которые сами проводятся с точностью до численных коэффициентов. Такое положение имеет место в излагаемой ниже теории явлений переноса — диффузии, внутреннего трения и теплопроводности. Ввиду сложности точной
СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
329
теории этих явлений приходится довольствоваться приближенными расчетами, часто довольно грубыми. В таких расчетах несущественно сохранять численные множители ]^2 и 1 /]/2, что обычно и делается. Упрощенные формулы (86.1) и (86.2) дают не только правильные порядки величин, но, что особенно важно, приводят к верной зависимости числа столкновений и длины свободного пробега от концентрации и размеров молекул.
3. Сам Максвелл получил выражения (86.3) и (86.4) в результате довольно кропотливых и сложных вычислений. Между тем их можно получить из формул
(86.1) и (86.2) путем весьма простых рассуждений почти без вычислений. Появление множителя Y2 становится при этом особенно ясным. Приведем соответствующий вывод.
При рассмотрении процесса столкновения играет роль не абсолютная скорость выделенной молекулы Л, а ее скорость относительно молекулы, с которой она сталкивается. Выделим мысленно группу молекул, которые движутся относительно молекулы А с ОДНОЙ И ТОЙ же относительной скоростью Vi отн. Пусть Щ — число таких молекул в единице объема. Число столкновений молекулы А с молекулами выделенной группы в единицу времени можно найти по формуле (86.1), которая дает Z; = nflvi отн. Полное число столкновений молекулы А со всеми остальными молекулами найдется суммированием этого выражения по всем скоростным группам, т. е. по всем возможным значениям индекса і:
Z = /і/СГГ/сін*
Введя среднюю относительную скорость
1
тг2лс
У&ІОТВ ,
получим
і яст^отн»' (86.5)
и следовательно,
V 1
-----. (86.6)
И0тн
Задача свелась к вычислению средней относительной скорости йоти какой-либо молекулы относительно всех остальных молекул газа.
4. Для решения этой задачи дадим другую интерпретацию максвелловского закона распределения скоростей. В прежней интерпретации закон Максвелла давал распределение скоростей всех молекул газа в один и тот же момент времени. Но на него можно смотреть как на закон распределения скоростей одной и той же молекулы (например, молекулы А), которые она последовательно принимает в различные моменты времени. Воспользуемся следующей интерпретацией. Пусть ®!, г>2> •••• — скорости, принимаемые молекулой Л непосредст-
венно после первого, второго и последующих столкновений. Если число N стремится к бесконечности, то эти скорости распределятся по закону Максвелла. Это непосредственно следует из равноправия всех молекул и хаотичности молекулярного теплового движения. В моменты столкновений на молекулу А действуют беспорядочно меняющиеся силы Fu F-і, ¦¦¦ Они-то и приводят к установлению максвелловского распределения скоростей молекул А в рассматриваемые моменты времени. Под ®2, ..., Вдг мы понимаем скорости относительно системы отсчета, в которой газ как целое покоится. Введем теперь скорости молекулы А относительно остальных молекул, которыми она обладала в промежутках между последовательными столкновениями. Пусть ©юти означает скорость молекулы А после первого столкновения относительно молекулы, с которой
330
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
произошло это столкновение, ®2отн'— скорость после второго столкновения относительно молекулы, с которой произошло это второе столкновение, и т. д. Как известно из механики, при рассмотрении относительного движения двух частиц одну из них можно считать неподвижной. Относительное движение второй частицы (например, частицы А) формально описывается уравнением Ньютона, как в неподвижной системе. При этом силы Fx, F%, ... остаются прежними, но масса частицы А должна быть заменена приведенной массой. Если молекулы
/ ч тЛтг т _
одинаковы (гщ = т2 = т), то приведенная масса равна ---------------— = —. Таким
