Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Сумма (70.10) называется математическим ожиданием величины а.
Истинное значение измеряемой величины а, как правило, определить невозможно, так как измерения, сколь бы точны они ни были, сопровождаются ошибками. (Исключения имеют место только при счете конечного числа предметов. Например, число жителей в доме или число деревьев в саду можно сосчитать абсолютно точно.)
242
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
Систематические ошибки могут быть исключены путем тщательного изучения приборов и методов измерения. Но случайные ошибки всегда остаются. Влияние их уменьшают путем многократного повторения измерений. Идеальной целью, к которой следовало бы стремиться на этом пути, является нахождение математического ожидания измеряемой величины. Оно и представляло бы окончательный результат измерения, выдаваемый экспериментатором за истинное значение измеряемой величины. Но нахождение математического ожидания требовало бы бесконечного повторения измерений, а потому на практике вместо него приходится довольствоваться средним значеннем, полученным в результате как можно большего числа измерений.
Можно сказать, что математическое ожидание является пределом, к которому стремится среднее значение (а) при неограниченном возрастании числа N. Различать эти понятия крайне необходимо, когда требуется точность в рассуждениях. Однако, когда такой необходимости нет, термином «математическое ожидание» обычно не пользуются и называют средним значением как величину
(70.9), так и величину (70.10).
12. Затронем попутно со всей возможной краткостью некоторые вопросы теории ошибок. Хотя непосредственно для нашего курса они не нужны, но вопрос об ошибках измерений является основным при статистической обработке результатов любых измерений. Поэтому имеет смысл на нем остановиться. Здесь речь пойдет только о случайных ошибках.
Ошибкой называется разность между измеренным и истинным значениями измеряемой величины. Если в результате N однотипных измерений получено N значений измеряемой величины а1у а.,, ... , Од,, то ошибки этих отдельных измерений будут Xl = ai-a (i=\,2,...,N). (70.11)
Для характеристики средней степени точности прибора и метода измерения применяют обычно так называемую среднюю квадратичную ошибку отдельного измерения. Это есть квадратный корень из среднего квадрата ошибки отдельного
измерения, т. е. величина ________________
------¦ Г X? -j- X^ -f- ... -f- X a/
Аке = V(x2) = У ^--------------------. (70.12)
Точное вычисление ошибок хг, х2, ... , а с ними и величины Акв невозможно, так как истинное значение измеряемой величины а неизвестно. Вместо точного вычисления приходится довольствоваться вероятностной оценкой величины Акв. С этой целью введем понятие отклонения результатов отдельных измерений от среднего значения (я), т. е. величины
# = о*-<а> (t=l, 2,..., N). (70.13)
Эти отклонения удовлетворяют тождеству
ЕУ,= 0, (70.14)
которое непосредственно следует из определения среднего арифметического (а). Подчеркнем здесь, что для ошибок лг| иодобиое равенство места не имеет. Истинное значение суммы ошибок конечно, неизвестно. Однако если рас-
§ ?0J ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
243
сматриваемую серию из N измерений повторять многократно, устремляя число таких повторений к бесконечности, то можно утверждать, что математическое ожидание указанной суммы будет равно нулю:
Мож?*; = 0. (70.15)
В этом проявляется случайный характер ошибок.
Из (70.11) и (70.13) следует, что xi = ?/,• + б, где б — постоянная: 6 = = (а) — а. Она имеет смысл ошибки среднего результата. Ее точное вычисле-ление, конечно, невозможно. Но можно дать вероятностную оценку абсолютного значения величины б или, лучше, ее квадрата. Величина 6кв = К(62) называется средней квадратичной ошибкой среднего результата. Ее вычисление и является главной целью теории ошибок. Возведя равенство Х{ = уі + б в квадрат и просуммировав по всем І, получим ввиду соотношения (70.14)
Е*? = ?^ + ?б*
или
Далее,
откуда
л <**}«&? +ЛЮ*.
?(а»~в) . ЪЧ
N N N •
ІФІ
Первое слагаемое в правой части существенно положительно и равно (х2). Что касается двойной суммы, то о ее значении сказать ничего нельзя. Можно утверждать только, что если рассматриваемую серию из N измерений повторять неограниченно, то двойная сумма с равной вероятностью будет принимать как положительные, так и отрицательные значения. Ее математическое ожидание будет равно нулю, подобно математическому ожиданию (70.15). Для вероятностной оценки среднего квадрата (S2) заменим двойную сумму ? Е xtxj ее математическим ожиданием. Таким путем получим N (б2) = {х2), а потому
ЛЧх2)=Е{/Ж*2>.
Отсюда __——
дкв=т=уй, (70-16)
бкв= (70.17)
У N У N(N-1} \ N
В правые части этих формул входят только известные величины — отклонения
результатов отдельных измерений от среднего значения (а). Поэтому (70.16) и (70.17) могут служить для фактического вычисления средних квадратичных ошибок Дкв и бкв или, лучше, их вероятностных оценок.
Окончательный результат измерения принято записывать в виде
а=(а) ± б.
