Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
7. Задача о распределении молекул газа по скоростям, как она сформулирована выше, а также методы решения ее, приводимые дальше, являются чисто классическими. Поэтому необходимо прежде всего выяснить границы применимости такого классического рассмотрения. Если не обращать внимания на малосущественные численные коэффициенты порядка единицы, то ответ можно получить из наглядных соображений, хотя бы с помощью принципа неопределенности Гайзенберга (род. 1901). Выделим в газе маленький кубик со сторонами х, у, г, на который в среднем приходится одна частица. Если выполнены условия
Г
§ 71] ЗАДАЧА О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СКОРОСТЕЙ МОЛЕКУЛ ГАЗА
249
то движение частицы в этом кубике можно рассматривать классически. Действительно, согласно принципу неопределенности Гайзенберга, произведение квантовых неопределенностей координаты и импульсы частицы порядка /г, а потому при соблюдении указанных условий эти неопределенности существенной роли не играют. Перемножив эти три неравенства, можно заменить их одним: Vff ;> /і3, где V = хуг — объем кубика, а р — некоторый средний импульс, характеризующий движение частиц газа. Если п — число частиц в единице объема, то Vn = 1, так что предыдущее соотношение принимает виц п (h/p)s 1. Величина
К = - = ~ (71.5)
р то ' '
имеет размерность длины. Она называется длиной волны де-Бройля (род. 1892) и играет исключительно важную роль в квантовой механике. С введением К условие применимости классического рассмотрения газа принимает вид
пЯ,3<1. (71.6)
Оно означает, что среднее число частиц газа в объеме ^3 должно быть мало по сравнению с единицей.
Для оценки порядка величины К воспользуемся какой-либо средней скоростью, характеризующей тепловое движение молекул
газа. Пока в нашем распоряжении есть только одна из таких скоро-
стей, а именно средняя квадратичная скорость vKB = 'yrSkT/m (см. § 60). Используя ее, придадим условию (71.6) вид
Т>Те, (71.7)
где введено обозначение
Величина Tg называется температурой вырождения газа. Таким образом, классический способ рассмотрения применим при температурах, значительно превышающих температуру вырождения. При более строгом рассмотрении за температуру вырождения принимают величину
Tg = ~(SU- (71.8)
е 2km \8п
Она примерно втрое меньше предыдущего выражения. Газы ниже температуры вырождения называются вырожденными. К ним классический способ рассмотрения не применим.
Вычислим температуру вырождения для двух крайних случаев. Для электронного газа в серебре п 6-Ю22 см"3, масса электрона т — 9,11-10"28 г. По формуле (71.8) получаем для электронного газа в серебре Tg я» 6,5-104 К. Подобные же значения получаются для всех других хорошо проводящих металлов. При таких высоких
250
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
температурах ни один металл в твердом состоянии существовать не может. Отсюда следует, что электронный газ в хорошо проводящих металлах всегда полностью вырожден. Возьмем теперь другой крайний случай — гёлий. Масса атома гелия т = 6,6-1(Г24 г, а концентрация при нормальных условиях « = 2,7-101н см“3. Вычисление по формуле (71.8) дает Tg — 0,05 К. У всех остальных газов (за исключением водорода) масса атомов еще больше, а следовательно, Tg ниже, чем у гелия (концентрация п при нормальных условиях одна и та же для всех идеальных газов). При столь низких температурах ни одно вещество не может находиться в газообразном состоянии. Поэтому все молекулярные газы достаточно далеки от вырождения, и их не только можно, но и следует рассматривать как классические системы.
§ 72. Закон распределения скоростей Максвелла
1. Изложим теперь рассуждения Максвелла, которые привели его в 1859 г. к открытию закона распределения молекул газа по скоростям. Пусть газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определенной температуре. Предполагается, что силовые поля, действующие на газ, отсутствуют. Какова вероятность того, что х-составляющая скорости молекулы лежит между vx и vx + dvx, а остальные две составляющие могут быть какими угодно? Ясно, что эта вероятность должна быть пропорциональна ширине рассматриваемого скоростного интервала dvx, а коэффициент пропорциональности зависит от величины vx. Обозначим эту вероятность ф (уд) dvx. Величина ф (ад) также называется функцией распределения. Однако она характеризует распределение молекул не по полной скорости v, а только по ее проекции vx на ось X. Величина f (г») имеет смысл объемной пли трехмерной функции распределения в пространстве скоростей, величина ф (vx) — одномерной или линейной функции распределения в том же пространстве.
Аналогично, величина ф (vfl) dv,, будет вероятностью того, что //-составляющая скорости молекулы заключена между vy и vy + dvy, а составляющие vx и vz могут быть какими угодно. Ввиду полного равноправия всех направлений скоростей функция ф будет той же самой, что и в предыдущем случае, но от другого аргумента vy. Наконец, ф (уг) dvz есть вероятность того, что z-составляющая скорости молекулы лежит между vz и vz + dvz, причем остальные составляющие vx и vy могут быть какими угодно.
