Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.
Действительно, разложим единственно возможные и несовместимые события Аг, А2, Ап на равновозможные, как это делалось при введении определения (70.1). Пусть событие В является суммой событий Аг и А2, т. е. состоит в появлении либо события Аъ либо события А2 (безразлично, какого). Так как события А1 и Л2 несовместимы, то число равновозможных случаев, благоприятных событию В, будет равно сумме равновозможных случаев, благоприятных событиям Аг и А2, т. е. т1 + т2. Вероятность же события В будет
Пример 3. Вероятность вынуть красный шар в примере 1 равна Ркр — = 25/100, вероятность вынуть зеленый Рзел = 45/100, вероятность вынуть цветной шар
1) герб герб герб,
2) герб герб решка,
3) герб решка герб,
4) герб решка решка,
5) решка герб герб,
6) решка герб решка,
(В)
7) решка решка герб,
8) решка решка решка.
1) герб,
2) решка герб,
3) решка решка герб,
4) решка решка решка.
(В')
Таким образом, если события Аг и Л2 несовместимы, то Р (Лі + Лг) = Р (Лі) -f- Р (Л2).
(70.2)
238
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
Пример 4. В примере 2 вероятность события 1) из группы (А') равна 1/2, а вероятности событий 2) и 3) из тон же группы равны */4. Действительно, событие 1) из группы (А') есть сумма несовместимых равновозможных событий
1) и 2) из группы (Л). Поэтому для вероятности (при двух бросаниях) появления герба хотя бы один раз мы получаем на основании теоремы сложения вероятностей
т. е. верный результат. Аналогично разбирается случай трех бросаний. Вероятности событий из группы (В') равны соответственно 1/2, 1,4, 1/8, х/s, и для вероятности, о которой идет речь в примере 2, находим
Р= — + — 4- — = —
2 т 4 ^ 8 8 ’
т. е. снова верный результат.
Сумма вероятностей всех единственно возможных и несовместимых событий равна единице:
Р1 + Р2 + -- - + ^) и = 1 • (70.3)
Это утверждение является непосредственным следствием теоремы сложения вероятностей. Действительно, так как события единственно возможны, то появление одного из них (безразлично, какого) есть событие достоверное. Вероятность такого события равна единице. С другой стороны, по теореме сложения вероятностей вероятность того же события может быть представлена суммой Pi + Р2 + ¦¦¦+Рп- В результате и получается соотношение (70.3).
Соотношение (70.3) часто называют условием нормировки вероятности. Вероятность в принципе можно было бы определить не выражением (70.1), а выражением, ему пропорциональным, т. е. тем же выражением, умноженным на произвольный постоянный численный коэффициент k. Тогда соотношение (70.3) не имело бы места. Только при k = 1 условие нормировки приводится к виду
(70.3).
Если число единственно возможных несовместимых событий равно двум, то события называются противоположными. Каждому событию соответствует противоположное, состоящее в том, что первое событие не произойдет. Очевидно, сумма вероятностей противоположных событий равна единице.
8. Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них Р (А) на вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло.
Последнюю вероятность, о которой говорится в теореме, называют условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло, и обозначают Р (В/А). Таким образом,
Р (АВ) = Р (А) Р (В/А).
(70.4)
§ 70] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
239
Для доказательства допустим, что нз п единственно возможных, несовместимых и равновозможных случаев
событию А благоприятствуют первые т случаев, остальные же ему не благоприятствуют. Путь, далее, из т случаев
первые / случаев благоприятствуют событию В, остальные же ему не благоприятствуют. Значит, число случаев, благоприятствующих и А, и В, равно I, а потому Р (АВ) = Пп. Далее, очевидно Р (А) = т/п. Наконец, если событие А произошло, то случаи Ст+1, ..., С„ становятся невозможными, а все остальные случаи С і, С2, ..., С,, С[+1, ..., Ст по-прежнему продолжают оставаться равновозможными. Поэтому Р (В/А) = 1/т. Таким образом,
что и доказывает теорему.
Располагая при доказательстве события А и В в обратном порядке, получим также
Отметим важный частный случай теоремы умножения вероятностей. Допустим, что вероятность каждого из двух событий А и В не зависит от того, произошло второе событие или не произошло. В этом случае события А и В называются независимыми или статистически независимыми. Для независимых событий
т. е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.
Пример 5. В урне лежат четыре одинаковых шара, занумерованных цифрами 1, 2, 3, 4. Какова вероятность того, что при последовательном вынимании двух шаров они окажутся с номерами ] и 2? Вынем один шар. Вероятность того, что он окажется с номером либо 1, либо 2 (событие А), равна по теореме сложения вероятностей Р (А) = 1/4 + 1/4 — 1/2. Если событие А произошло, то в урне останется три шара, один из которых будет иметь либо номер 1, либо 2. Вероятность вынуть шар с таким номером (событие В) равна Р (В!А) — Ч3. Искомая вероятность по теореме умножения вероятностей равна Р (АВ) = 1/2л/з = V«-
