Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
* *
§ 70. Элементарные сведения из теории вероятностей
1. С молекулярной точки зрения физические величины, встречающиеся в термодинамике, как и в любом другом отделе макроскопической физики, имеют смысл средних значений, которые принимают при определенных условиях какие-то функции микросостояния системы (см. § 9). Про величины такого рода говорят, что они имеют статистический характер или являются статистическими. Примеры таких величин (давление, плотность, температура, средний квадрат смещения частицы при броуновском движении и пр.) и способы их вычисления были приведены в предыдущей главе. То обстоятельство, что эти величины подчиняются определенным закономерностям, не свойственным отдельным атомам и молекулам, связано с колоссальным количеством таких частиц в макроскопических телах. Такие закономерности, равно как и любые закономерности, обусловленные массовостью участвующих в их возникновении ингредиентов, называются статистическими или вероятностными закономерностями.
Допустим, например, что бросается монета. Что выпадет в результате бросания — герб или решка — это предсказать невозможно. Хотя движение монеты и строго подчиняется законам механики, но на это движение, а также на начальные условия влияет множество случайных и неконтролируемых факторов, которые делают результат бросания непредсказуемым. Однако, если бросаний произведено очень много, то числа выпавших гербов и решек окажутся почти равными. И это равенство будет выполняться тем точнее, чем больше произведено бросаний. В приведенном примере и проявляется статистическая закономерность. На том же примере видно, что предсказания, которые делаются на основе статистических законов, не являются абсолютно достоверными, а носят характер прогнозов, которые могут и не оправдываться. Почти все законы макроскопической физики — статистические. Однако колоссальность количества молекул и атомов в макроскопических телах превращает статистические законы физики и основанные на них предсказания в практически абсолютно достоверные.
Классическая физика считала, что за статистическими или вероятностными законами, управляющими поведением макроско-
234
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
1ГЛ. VI
пических систем, стоят точные динамические законы, которым подчиняются отдельные атомы, молекулы и составляющие их частицы. Квантовая физика идет дальше. Она утверждает, что и элементарные законы микромира являются также законами статистическими. С ее точки зрения не существует строго динамических законов — все законы статистические. Однако здесь нет необходимости вдаваться в обсуждение этих вопросов. Для наших целей пока достаточна классическая точка зрения.
С чисто математической точки зрения, отвлекающейся от конкретного смысла рассматриваемых величин, статистические закономерности изучаются теорией вероятностей. Ниже приводятся самые элементарные сведения из теории вероятностей, необходимые для дальнейшего изложения.
2. Современная математическая теория вероятностей строится как абстрактная аксиоматическая наука. Под вероятностями понимают некоторые числа, подчиняющиеся определенной системе аксиом, из которых формально логически выводится все остальное. Вопрос о конкретном смысле вероятностей в абстрактной теории не ставится. Он решается отдельно в конкретных случаях, когда от теории переходят к ее приложениям. В физике, как и во всех прикладных вопросах, более предпочтителен другой подход к теории вероятностей, в котором вероятность органически связана с ее конкретной интерпретацией. Такой подход характерен для всей теории вероятностей, какой она существовала примерно до 20-х годов текущего столетня. Этот подход встретил серьезные и обоснованные возражения со стороны математиков. Однако при первоначальном знакомстве с элементами теории вероятностей всякий иной подход нецелесообразен.
3. Событиями или случаями в теории вероятностей называют всякие явления, относительно которых имеет смысл ставить вопрос, могут они происходить или нет. Опыт или совокупность условий, в результате которых появляется то или иное событие, в теории вероятностей называется испытанием.
Если при данных условиях событие обязательно произойдет, то оно называется достоверным. Если же оно произойти не может, то его называют невозможным. Допустим, например, что мы чертим треугольник на бумаге. Событие, состоящее в том, что при этом получится треугольник, у которого каждая сторона короче суммы двух других сторон, есть достоверное событие. Появление треугольника, у которого одна из сторон длиннее суммы двух других, есть также событие, хотя и невозможное.
Событие называется случайным, если в результате испытания оно может как произойти, так и не произойти. Например, при игре в орлянку может выпасть либо герб, либо решка. Это — случайные события. Положим в урну несколько занумерованных со-гершенно одинаковых шаров и тщательно перемешаем их. Если
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
235
наугад вынуть один шар, то появление шара с определенным номером будет также случайным событием.
4. Суммой двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении либо события А, либо события В (без указания, какого именно). Так, если в урне лежат красный, зеленый и белый шары, то появление при вынимании цветного шара есть сумма двух событий: 1) появления красного шара и 2) появления зеленого шара. Сумма событий А п В обозначается Л -[ В. Произведением событий А и В называется событие, состоящее в появлении как события А, так и события В. Так, если монета бросается два раза, то появление при первом бросании герба, а при втором решки есть произведение двух событий: 1) появления при первом бросании герба и 2) появления при втором бросании решки. Произведение событий А и В обозначается АВ.
