Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сивухин Д.В. -> "Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика" -> 113

Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.

Сивухин Д.В. Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика — Физматлит, 1970. — 565 c.
Скачать (прямая ссылка): obshiykurstermodinamika1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 240 >> Следующая

5. Для функции распределения / (є) = / (ev + єа + єг) из (72.3)
П0ЛуЧаЄМ Ж = Ле-«. (72.4)
причем А = А\. Эта формула, отличающаяся исключительной простотой, и выражает максвелловский закон распределения скоростей. Для того чтобы придать ему окончательный вид, необходимо еще определить постоянные А и ос. Для этого проще начать не с функции /, а с функции ф. Последняя функция в зависимости от скорости vx представлена на рис. 52. Она тождественна с гауссовой кривой ошибок. Площадь элементарной полоски, заштрихованной на рисунке, даст вероятность того, что х — составляющая скорости молекулы лежит внутри интервала {vx, vx dvx), а умноженная на N, она дает вероятное число молекул со скоростями в том же интервале. Функция ф (t'A) должна быть нормирована условием
_|_СО -{• СО СС mvx
5 Ф (уд) dvx = Лі § е 2 dvx = 1. (72.5)
— СО —СО
Интегрирование в пределах от — оо до + оо не означает, что в газе есть молекулы с бесконечно большими скоростями. В действительности при достаточно больших скоростях формулы (72.3) и (72.4) становятся неприменимыми. Кинетическая энергия молекулы є не может превосходить кинетической энергии всего газа К¦ Поэтому при б > К формула (72.4) заведомо не имеет смысла. Но она становится неприменимой уже при много меньших значениях є, когда перестают выполняться условия, накладываемые на элементы объема скоростного пространства dco, необходимые для введения самого понятия функции распределения (см. § 71, пункт 3). Интегрирование в бесконечных пределах следует рассматривать только как вычислительный прием. Он возможен потому, что молекул со скоростями, удовлетворяющими условию атад >> 1, очень мало, и такие молекулы практически не вносят никакого вклада в нормировочный интеграл (72.5). Значение этого интеграла практически
Рис. 52.
254
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
не изменится, если истинное распределение молекул по скоростям заменить экспоненциальным (72.3) не только в области его применимости, но и при больших скоростях, где оно не действительно. Это и сделано в формуле (72.5).
Введем в качестве переменной интегрирования величину | = = У am/2 vx. Тогда условие (72.5) примет вид
_ ~ + га
I дає»
— СО
Входящий сюда интеграл называется интегралом Пуассона. В курсах математического анализа доказывается, что
+ с°
\ e-Vdl^Vn- (72.7)
— СО
С использованием этого результата получаем
Аі-УШ- <72-8>
6. Задача свелась к вычислению одной только постоянной а. Для этого замечаем, что средняя кинетическая энергия (є*) теплового движения вдоль оси X выражается через функцию распределе-
ния ф соотношением
+ СО
<е*> = ^ Е*ф (вд.) dvx,
— со
или более подробно
4* со о amt'y
С mvl--------—
<e*)=.4i J -j-e 2 dvx.
— со
Введем прежнюю переменную интегрирования Тогда получим
СО
— со
Интегрированием по частям находим
4*СО -}- СО
I l*e-Vdt = -llslfr-vfZ+1/* S 6-12
— СО —СО
Первое слагаемое в правой части обращается в нуль, так как при
I оо показательная функция е~^г стремится к нулю быстрее,чем стремится к бесконечности любая степень В результате получаем
___ -J-CO
2
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ МАКСВЕЛЛА
255
или учитывая (72.6), (єл) = 1/2а. (Заметим, что для получения этого результата знания интеграла Пуассона (72.7) не требуется.) Но по определению кинетической температуры (еЛ.) = ‘/г© = 11гкТ. Это дает
« = <72-9)
Лі = 2лкТ' ^^\1ЫкТ) ' (72.10)
В результате для функций распределения ф (и() и / (у) окончательно получаем
или более подробно
=( »¦
ЕЛ-
кТ
кТ
(72.11)
(72.12)
mv..
ф(”-) = (гшТе *т ¦ ,72'|3)
/ \ 3 / __ mv*
P2.I4)
Это и есть окончательная формула, выражающая максвелловский закон распределения скоростей. Она применима не только к газам, но и к жидкостям н к твердым телам во всех случаях, когда еще можно пользоваться классическим способом описания движения.
ЗАДАЧИ
1. Применяя метод Максвелла, с помощью которого были выведены формулы (72.3), получить формулу (71.3), определяющую распределение частиц по ячейкам в демонстрационном опыте с доской Гальтона. С этой целью рассмотреть двухмерную доску Гальтона с ячейками, имеющими форму прямоугольных параллелепипедов, боковые грани которых параллельны координатным плоскостям XZ и YZ. Аналогичным путем получить закон ошибок Гаусса.
2. В законе ошибок Гаусса (71.4) выразить постоянную/1 через постоянную а.
Ответ.
A = Y а/п.
3. Выразить через а среднюю и среднюю квадратичную ошибки при гауссовом законе распределения ошибок. Найти связь между этими ошибками.
Ответ.
<|*| )=1/^яа, Акв = К( х2 > = 1/2а,
Акв = V л/2 (!*!>• (72.15)
Непосредственное вычисление <х2> довольно кропотливо и требует большой затраты времени. Последняя формула сводит вычисление этой величины к вычислению ( | х | ), что значительно проще. Такой прием целесообразно применять, например, при обработке результатов наблюдения броуновского движения (см. § 64).
256
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
§ 73. Распределение молекул по абсолютным значениям скорости. Средние скорости молекул
1. Функция / (є) имеет смысл объемной плотности вероятности, с какой скоростные точки молекул газа распределены по пространству скоростей. Умноженная на полное число молекул N, она дает среднее или вероятное число скоростных точек в единнце объема скоростного пространства.
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 240 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed