Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
4. Отношение Nf (z>) = имеет смысл средней концентрации
скоростных точек в пространстве скоростей и вполне аналогично концентрации частиц в обычном (координатном) пространстве. Величина / (»} называется функцией распределения молекул по скоростям. Она может быть интерпретирована как плотность вероятности распределения скоростных точек молекул в пространстве скоростей. К определению функции f (г») и сводится статистическая задача о распределении скоростей молекул. Если величину dN или (dN) проинтегрировать по всему скоростному пространству, то в результате, очевидно, получится полное число молекул N. Отсюда следует условие нормировки
$/(®)*в=1, (71.1)
которому должна удовлетворять функция / (г»).
§ 71] ЗАДАЧА О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СКОРОСТЕЙ МОЛЕКУЛ ГАЗА 247
В дальнейшем мы будем иметь дело только со средними числами (dN), а не с мгновенными значениями dN. Поэтому для сокращения письма знак усреднения < ) обычно будет опускаться. Иными словами, в дальнейшем всюду под dN будет пониматься среднее или вероятное значение этого числа, т. е. (dN).
По смыслу функции распределения величина
dN = Nf (v) da = Nf (vx, vy, yr) dvx dvy dvz (71.2)
дает среднее число молекул, компоненты скоростей которых лежат между vx и vx dvx, vy и v„ + dv,,, v, и v, + dv, соответственно. Функция распределения / (г») меняется непрерывно и плавно с изменением скорости V. Она описывает не истинное, а только сглаженное, среднее или вероятное распределение молекул по скоростям. Это видно из того, что истинное число скоростных точек в любом элементе dco скоростного пространства может быть только целым. Величина же dN, определяемая выражением (71.2), может принимать любые вещественные значения.
При статистической постановке задачи не имеет также смысла спрашивать, сколько молекул газа имеют вполне определенную скорость v с компонентами vx, vy, vz. Речь может идти только о среднем числе dN молекул в элементе объема скоростного пространства da = dvxdvydvz. При стремлении dco к нулю стремится к нулю и число dN. Таким образом, среднее число молекул со строго определенной скоростью v равно нулю. Это станет очевидным, если заметить, что множество всех векторов V, т. е. всех точек скоростного пространства бесконечно, тогда как полное число молекул газа N конечно. По той же причине равно нулю среднее число молекул со строго определенным направлением вектора скорости.
5. Для лучшего уяснения статистического характера задачи о распределении скоростей молекул может служить демонстрационный прибор, называемый доской Галыпона. Это — доска, с передней стороны прикрытая стеклом, в которую в шахматном порядке достаточно часто вбиты гвозди (рис. 51). Внизу поа гвоздями установлены равноотстоящие вертикальные перегородки из металлических пластинок. Они делят пространство между доской и стеклом на равные объемы, называемые ниже для краткости ячейками. Вверху над гвоздями в средней части доски помещена воронка, в которую можно сыпать песок, зерна пшена, или другие частицы. Если бросить в воронку одну частицу, то при падении вниз она испытает много столкновений с гвоздями и в конце концов попадет в одну из ячеек. В какую ячейку попадет частица — это предсказать невозможно из-за множества случайных факторов, влияющих на ее движение. Можно говорить лишь о вероятности попадания частицы в ту илн другую ячейку. Естественно ожидать, что попадание частицы в центральные ячейки более вероятно, чем в крайние. И действительно, если через воронку частицы сыпать непрерывно, то оказывается, что в центральные ячейки, находящиеся под отверстием воронки, попадает частиц больше всего, а в крайние — меньше всего. При очень большом количестве частиц, прошедших через воронку, вырисовывается вполне определенная статистическая закономерность распределения их по ячейкам. Эту закономерность можно даже представить в пределе аналитической формулой. С этой целью соединим плавной кривой вершины столбиков, которые образуют
248
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
частицы в ячейках. Оказывается, что при очень большом числе частиц кривая асимптотически приближается к кривой вида
у=(р (*) = Ае~ахг, (71.3)
где А и а — положительные постоянные. Из них постоянная а зависит только от параметров прибора, но не зависит от числа частиц. Постоянная А пропорциональна числу частиц и связана с постоянной а условием нормировки.
6. Формула (71.3) выражает так называемый нормальный закон ошибок Гаусса (1777— 1855), а соответствующая ей кривая называется кривой ошибок Гаусса. Величина <p (х) dx дает вероятность того, что при измерении будет сделана ошибка, заключенная в пределах от х до х + dx. Конечно, при такой интерпретации плотность вероятности ср (х) должна быть нормирована условием
-j-co
^ Ф (х) dx^
— СО
+ со
= А $ e-ax‘dx= 1,
— ОО
(71.4)
с помощью которого постоянную А можно выразить через постоянную а (см. задачу 2 к U § 72). Чем больше а, тем более
рис 51 острым будет максимум на кри-
вой ошибок, тем точнее измерения. Поэтому постоянная а должна быть связана со средней квадратичной или средней арифметической ошибками, характеризующими точность измерения (см. задачу 3 к § 72). Что касается доказательства закона ошибок Гаусса (71.3), то оно может быть проведено аналогично тому, как в следующем параграфе доказывается закон распределения скоростей Максвелла.
