Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
КВ-
Величина 6КВ определяет число достоверных десятичных знаков, с которыми может быть получено значение измеряемой величины. Величина Дкв от числа измерений не зависит. Увеличивая число измерений, мы только уточняем значение
этой величины. Поэтому 6КВ ~ Для того чтобы повысить точность резуль-
X N'
тата на один порядок, оставляя точность отдельных измерений неизменной, надо
244
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
увеличить число измерений в 100 раз. Повышение точности на два порядка потребовало бы увеличения числа измерений в 10 ООО раз. Отсюда видно, что метод многократного повторения измерений эффективен лишь при сравнительно небольших значениях N.
13. Понятие вероятности мы разъяснили применительно к случаям, когда множество различных событий, которые могут появиться при испытании, конечно. Но могут быть н такие случаи, когда это множество бесконечно и даже непрерывно. С такими случаями мы встречаемся, например, при измерении величин, могущих принимать непрерывный ряд значений. Можно, например, ввести вероятность dP того, что численное значение измеряемой величины, полученное в результате измерения, будет заключено в пределах от а до а + da. Величина этой вероятности пропорциональна ширине бесконечно узкого интервала da, так что она может быть представлена в виде
dP = р (a) da,
причем коэффициент пропорциональности р, вообще говоря, зависит от а. Функция р (с) называется плотностью вероятности. Условие нормировки (70.3) принимает вид
§p(a)da=l, (70.18)
а формула (70.10) для математического ожидания переходит в
Мож а = § яр (a) da. (70.19)
Интегралы берутся по всем значениям, которые может принимать а. Однако во всех случаях в качестве пределов интегрирования можно поставить — оо и + оо, считая, что вне области изменения а плотность вероятности р (а) равна нулю.
§ 71. Распределение скоростей молекул газа.
Постановка задачи
1. В состоянии статистического равновесия все направления скоростей молекул газа при тепловом движении равновероятны. Если бы это было не так, то тепловое движение газа не было бы вполне беспорядочным. Абсолютные величины всех скоростей молекул в том же состоянии также не могут быть одинаковыми. Даже если бы случайно они и оказались одинаковыми в какой-то момент времени, то в дальнейшем такое состояние быстро нарушилось бы из-за столкновений молекул между собой. Рассмотрим, например, простейшую модель газа, состоящую из идеально упругих и гладких шариков, взаимодействующих между собой лишь в моменты столкновений. Допустим, что столкнулись молекулы 1 и 2, скорости которых до столкновения ю1 и V2 были взаимно перпендикулярны (рис. 49). Первая молекула двигалась вдоль линии центров 12,
§ 71] ЗАДАЧА О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СКОРОСТЕЙ МОЛЕКУЛ ГАЗА 245
вторая — перпендикулярно к ней. Так как шары — абсолютно гладкие, то касательные составляющие их скоростей в результате столкновения не изменятся. Однако шары, как известно из элементарной теории удара, должны обменяться нормальными скоростями. После столкновения первый шар остановится, скорость второго получит приращение Л®2 = v[, т. е. обратится b»S = «2 + Она изобразится диагональю параллелограмма, построенного на век-
?а удара. После удара Рис. 49.
торах Oj и ©2. Если v1 = v2, то v\ = vx ]/ 2. Этот пример показывает, что при столкновениях меняются не только направления движения молекул, но и абсолютные значения их скоростей. Рассмотренное столкновение является только одним из возможных. На самом деле столкновения бесконечно разнообразны. Они сопровождаются всевозможными изменениями скоростей и приводят в конце концов к вполне определенному статистическому распределению молекул по скоростям.
2. Задача о распределении молекул газа по скоростям была поставлена и решена Максвеллом в 1859 г. Уясним сначала постановку задачи. Допустим, что в закрытом сосуде содержится очень большое число N молекул газа и что внешних силовых полей, действующих на газ, нет.
Примем произвольную точку пространства О за начало координат (рис. 50). Отложим от нее в какой-то момент времени t векторы скоростей всех молекул газа: ©1( ®2, ..., vN. Концы этих векторов называются скоростными или изображающими точками. Совокупность всех скоростных точек образует трехмерное пространство, называемое пространством скоростей. В нем можно ввести прямоугольные оси. Координатами скоростной точки являются проекции vx, vy, vz вектора v на эти оси. Задание скоростей всех молекул газа эквивалентно заданию положения их скоростных точек в пространстве скоростей. С чисто динамической точки зрения задача о распределении скоростей молекул сводится к определению положения скоростных точек в пространстве скоростей в любой момент времени. Но, как уже указывалось в § 9, для систем с колоссальным числом молекул в такой динамической
246
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
постановке задача не разрешима и не представляет интереса. Распределение молекул по скоростям должно рассматриваться как статистическая задача. Ее можно формулировать следующим образом.
3. Возьмем в пространстве скоростей физически бесконечно малый элемент объема, имеющий, например, форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами dvx, dvy, dvz и с центром в точке vx, vu, vz. Объем этого параллелепипеда равен dсо = dvx dv,, dv~, число скоростных точек в нем обозначим dN. Из-за взаимодействия молекул меняются их скорости. На геометрическом языке это означает, что скоростные точки одних молекул уходят из элемента объема doo, скоростные точки других молекул — вступают в него. Число скоростных точек dN внутри объема dio, таким образом, не сохраняется постоянным. Если элемент dсо выбрать очень малым, то в нем окажется мало скоростных точек. Может случиться, например, что в одни моменты времени в объеме do, окажется одна или две скоростных точки, а в другие моменты — ни одной. Число скоростных точек dN, таким образом, будет резко н нерегулярно меняться от одного момента времени к другому. Во избежание этого надо объем doo выбрать достаточно большим, чтобы в нем находилось еще очень много скоростных точек. Тогда в установившемся состоянии числа dN будут меняться относительно мало, колеблясь вокруг некоторого среднего значения (dN), а поведение самих средних значений (dN) будет подчиняться определенным статистическим закономерностям, которые мы и должны установить. Но объем diо в то же время должен быть настолько малым, чтобы распределение скоростных точек в пространстве скоростей было описано достаточно детально, и настолько малым, чтобы с величинами dvx, dvy, dvz, а также dсо и dN можно было обращаться как с бесконечно малыми дифференциалами. Обоим требованиям удается удовлетворить практически всегда благодаря колоссальности чисел молекул, содержащихся в газах.
