Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Найдем теперь распределение молекул газа по абсолютныеі значениям их скоростей. Направления скоростей нас больше не интересуют. Надо найти вероятность того, что абсолютное значение скорости молекулы заключено между v и v + dv. Эту вероятность будем обозначать F (w) dv. Умноженная на N, она дает вероятное число молекул dN с такими скоростями. Новая функция распределения F (у) просто связана с ранее введенной функцией / (є). Будем откладывать от одной и той же точки 0 векторы скоростей всех молекул газа. Из них отберем векторы с длинами, заключенными между v и v + dv. Соответствующие скоростные точки лежат внутри бесконечно тонкого шарового слоя со средним радиусом v и толщиной dv. Объем этого слоя do = 4nv2 dv. Объемная плотность / (є) внутри шарового слоя постоянна, так как она зависит только от абсолютного значения скорости v, но не от ее направления. Умножив ее на объем слоя da>, находим искомую вероятность / (е) dot = Ant/f (t) dv. Но для той же вероятности ранее мы писали F (d) dv. Сравнивая обя выражения, получаем
F (v) = 4nv2f (г), (73.1)
или
<73-2>
Значит,
dN = 4nN ~fJh v2e~ kT dv. (73.3)
Ясно, что функция F (v) удовлетворяет условию нормировки
со
\F{v)dv= 1. (73.4)
о
Этими формулами и решается поставленная задача.
2. График функции F (и) представлен на рис. 53. Кривая F (v)
асимметрична и проходит через нуль в начале координат. Напротив,
кривая ф (Уд), как мы видели, симметрична и в начале координат проходит через максимум. Легко видеть, в чем причина этого различия. Выражение ф (ул.) dvx дает вероятность попадания молекулы в бесконечно тонкий плоский слой скоростного пространства между плоскостями vx — const и vx+dvx — const. Выражение F(v)dv есть
СРЕДНИЕ СКОРОСТИ МОЛЕКУЛ
257
также вероятность попадания молекулы в бесконечно тонкий слой, но сферический,заключенный между двумя концентрическими сферами v --- const и v + dv — const. Если фиксировать толщину dvx, то все плоские слои будут одинаковыми, каково бы ни было значение Уд- Естественно, что выражение ф (i>.v) dvx, а с ним и функция Ф (vx) максимальны в центре, т. е. при vx = 0. Напротив, при фиксированной толщине сферических слоев dv их объемы возрастают с возрастанием v благодаря наличию множителя 4лиг в выражении d(о = 4л v2/ (v) dv. Ввиду этого положение максимума на кривой F (v) = 4nv2f (v) определяется произведением конкурирующих множителей: монотонно убывающего / (v) и монотонно возрастающего V2.
Следующая аналогия полезна для уяснения указанного различия между функциями q (tv) и /•' (v). Допустим, что производится стрельба по мишеням. Попадание пули в то или иное место мишени есть случайное событие, а потому
распределение пробоин в мишени подчиняется законам случая. Если мишень разделить на одинаковые вертикалі,ные полоски (рис. 54), то, как и в опыте с доской Гальтона, распределение вероятности попадания в них представится симметричной кривой \ <р (х). Если же мишень разделить на
\ кольца равной толщины, то площади
их будут возрастать с возрастанием / радиуса, а распределение вероятности
' попадания в кольца представится асим-
метричной кривой, напоминающей кривую рис. 53.
3. Величина скорости, при которой функция F (и) максимальна, называется наиболее вероятной скоростью. Будем обозначать ее vm. Для нахождения vm величину F лучше рассматривать как функцию аргумента и2. Дифференцируя (73.2) по указанному аргументу и приравнивая результат нулю, получим
Рис. 53.
откуда
v = vm = y*?..
(73.5)
258 СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ [ГЛ VI
Средняя или средняя арифметическая скорость молекулы определяется обычной формулой
со
(v) = —р ^ v dN = jj vF (v) dv.
о
Подставляя сюда значение F (и) и интегрируя, получим
<и>=У vV я =1 •1 Зі’™- (?з-г>)
Добавим сюда еще среднюю квадратичную скорость, определяющую среднюю кинетическую энергию молекулы ','./п (у2) = 1i.jnvlci = = 3/2kT (см. § 62). Эта скорость равна
vKB=Y^^\,22vm. (73.7)
Эти три скорости отличаются друг от друга численными множителями порядка единицы, причем i>KB > (v) > vm. Поэтому каждая из них может быть использована для общего представления о скоростях теплового движения молекул.
ЗАДАЧИ
1. Написать выражение для среднего числа rf,V молекул газа, кинетические энергии которых заключены между 8 и !-¦-(-А'.
?
Ответ. dN = 2nN (лкТ)~~| v с kT de.
2. Найти среднее значение обратно”! величины скорости молекулы в газе.
/ 1 \ Г 2т 4
Ответ.' /= \/ —-= =----------
v I } ziki я у)
3. Найти среднее число молекул, компоненты скорости которых, параллельные некоторой оси, лежат в интервале (i> , v + dv ), а абсолютные значения перпендикулярной составляющей скорости заключены между и t'j_ + dv j.
Решение. Искомое число молекул dN равно среднему числу скоростных точек в элементе объема пространства скоростей, заключенном между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами и, и и^+ dv ^ и высотой dv, .Объем этого элемента равен rfco = 2nvjdv^dv^, а среднее число скоростных точек в нем
_є_
dN = f rfco = 2л { j ^ e vA_dj)±rft’||.
4. В диоде электроны, эмитируемые накаленным катодом, попадают в задерживающее поле анода. До анода доходят лишь достаточно быстрые электроны. Считая, что тепловые скорости эмитируемых электронов (вышедших из катода) распределены по закону Максвелла с температурой 7’= 1150 К, определить долю электронов а, преодолевающих задерживающий потенциал: 1) V — 0,2 В;
